Question

（2011?汉阳区）一长方形纸片的长为1．将它按如图所示的方式折一下，剪下一个边长等于长方形纸片宽的正方形（称为一次操作）：再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去．若在3次操作后，剩下的长方形纸片恰好为正方形、求原长方形纸片的宽．

Answer 1

分析：由图可知，第一次操作后剩下的矩形长为：原矩形的长-原矩形的宽，即为：1-a；再求出二次操作后剩下的矩形的边长；根据a的求值范围不同进行讨论，求出满足题意的a值即可．

解答：解：由图可知，第一次操作后剩下的矩形长为：原矩形的长-原矩形的宽，即为：1-a
第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：1-a，2a-1，
在3次操作后，当1-a＞2a-1，a＜

2

3

时，1-a=2（2a-1），
解得：a=

3

5

；
当1-a＜2a-1，a＞

2

3

时，2（1-a）=2a-1，
解得：a=

3

4

．
综上所述，原长方形纸片的宽为a=

3

5

或

3

4

．
答：原长方形纸片的宽为

3

5

或

3

4

．

点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质以及正方形、矩形的面积公式以及分类讨论思想在几何题目中的运用．