21．(10分) 已知：如图12-1，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．

（1）（5分）求证：AD是圆O的切线；

   证明：

（2）（5分）如图12-2，当PC是圆O的切线，BC = 8，求AD的长．

解：

20． (本题满分8分) 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图11-1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△A B'E，如图11-2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图11-3．　　

利用展开图11-4探究：  

（1）（4分）△AEF是什么三角形?证明你的结论；

（2）（4分）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．

（1）（4分）用树状图或列表法，求两数相加和为零的概率；

（2）（4分）你认为这个游戏规则对双方公平吗？若公平，请说明

理由；若不公平，请修改游戏规则中的赋分标准，使游戏变得公平．

解：

（2）（3分）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于 20cm，每个台阶宽要大于20cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？

解：

（1）（4分）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m,楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？

18．（本题满分7分）汪老师要装修自己带阁楼的新居（图8为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG为 1 . 75m ．他量得客厅高 AB = 2 . 8m，楼梯洞口宽AF=2m， 阁楼阳台宽 EF = 3m ．请你帮助汪老师解决下列问题：