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一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
B
A
C
B
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案填在相应的位置）
题号
9
10
11
12
13
14
答案
-1+
8,70
24
①③④
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
解：（1）
（2）由题意，得
16．（本题满分13分）
解：（1）这3封信分别被投进3个信箱的概率为
（2）恰有2个信箱没有信的概率为
（3）设信箱
中的信箱数为
0
1
2
3
17．（本题满分13分）
解：解答一：（1）在菱形
中，连接
则
是等边三角形。
（2）
（3）取
中点
，连结
解法二：（1）同解法一；
（2）过点
作平行线交
于
,以点为坐标原点,建立如图的坐标系
二面角
的大小为
（3）由已知，可得点
即异面直线
所成角的余弦值为
18．（本题满分13分）
解：（1）将函数
的图象向右平移一个单位，得到函数
的图象，
函数的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，
由题意得：
所以
（2）由（1）可得
故设所求两点为
满足条件的两点的坐标为：
（3）
19．（本题满分14分）
解：（1）椭圆
的右焦点
的坐标为（1，0），
（2）
（3）由（2）知
20．（本题满分14分）
解：（1）
（2）由（1）知
（3）
已知函数
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由.
【解析】第一问当
时，
，则
。
依题意得：
，即
解得
第二问当
时，
，令
得
，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设
，则
，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
（Ⅰ）当时，，则。
依题意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①当时，，令得
当
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
|
单调递减又
，
，
。∴在
上的最大值为2.
②当
时, 
.当
时, 
,最大值为0；
当
时, 在
上单调递增。∴在最大值为
。
综上，当
时，即
时，在区间上的最大值为2；
当
时，即
时，在区间上的最大值为。
（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设，则，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若
，则
代入（*）式得：
即
，而此方程无解，因此
。此时
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，则
∴
在
上单调递增， ∵ ∴
,∴
的取值范围是
。
∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。
因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上
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设定义在R的函数
，
R. 当
时，
取得极大值
，且函数
的图象关于点
对称.
（I）求函数
的表达式；
（II）判断函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间
上，并说明理由；
（III）设
，
（
），求证：
.
，
R. 当
时，
取得极大值
，且函数
的图象关于点
对称.（I）求函数
的表达式；（II）判断函数
的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间
上，并说明理由；
（III）设
，
（
），求证：
.
时，f（x）取得极大值
，并且函数y=f'（x）的图象关于y轴对称．
，求曲线C过点P（2，4）的切线方程；
可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
时，f（x）取得极大值
，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
，求曲线过点P（2，4）的切线方程．