Question

设定义在R的函数，R. 当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称.

 （I）求函数的表达式；

 （II）判断函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间上，并说明理由；

 （III）设，（），求证：.

Answer 1

（I）.

（II）两点的坐标分别为或.

（III）见解析

解析:

（I）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，  

    ∴ 函数的图象关于点对称，即为奇函数. 

    ∴.                       ……………………………..2分

    由题意可得，解得.

    ∴.                          ……………………………..4分

   （II）存在满足题意的两点.                         ……………………………..6分

由（I）得.

假设存在两切点，，且.

则.   

∵，∴或，

即或. 

从而可求得两点的坐标分别为或.

                                                  …………………………….9分

（III）∵当时，，∴ 在上递减.

 由已知得，∴，即.

                                                  ……………………………..11分

又时，；时，，

 ∴在上递增，在上递减.

∵，∴.  

∵，且，

∴.          ……………………………13分

∴.  ………………………..14分