摘要：23．过顶点A分别画出的中线.角平分线和高．

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如图，分别画出每个三角形过顶点A的中线、角平分线和高。

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过△ABC的顶点A、B、C分别作对边BC、AC、AB的平行线，两两相交于点D、E、F，试用三角尺画出图形，并指出图中平行四边形的个数．

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已知两条平行线l₁、l₂之间的距离为6，截线CD分别交l₁、l₂于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l₁、l₂于A、B两点．
（1）操作发现
如图1，过点P作直线l₃∥l₁，作PE⊥l₁，点E是垂足，过点B作BF⊥l₃，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线l₁所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4

？请说明理由．

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如图1，Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁．连接AC，
（1）点O、E分别是AC、BD的中点，过点C作AE的平行线与EO的延长线交于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
（2）如果Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的同侧（如图2），保持（1）中其它条件不变，则（1）中的结论是否成立？请在图2上画出相应图形并写明结论．（画出图形，写明结论，不需证明）
（3）在图2中，过B、D两点分别向AC所在直线作垂线，垂足为M、N（如图3），则AM与CN是否相等？如果相等，给出证明；如果不相等，请说明理由．

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如图1，Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁．连接AC，
（1）点O、E分别是AC、BD的中点，过点C作AE的平行线与EO的延长线交于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
（2）如果Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的同侧（如图2），保持（1）中其它条件不变，则（1）中的结论是否成立？请在图2上画出相应图形并写明结论．（画出图形，写明结论，不需证明）
（3）在图2中，过B、D两点分别向AC所在直线作垂线，垂足为M、N（如图3），则AM与CN是否相等？如果相等，给出证明；如果不相等，请说明理由．

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