题目内容

如图1，Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁．连接AC，
（1）点O、E分别是AC、BD的中点，过点C作AE的平行线与EO的延长线交于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
（2）如果Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的同侧（如图2），保持（1）中其它条件不变，则（1）中的结论是否成立？请在图2上画出相应图形并写明结论．（画出图形，写明结论，不需证明）
（3）在图2中，过B、D两点分别向AC所在直线作垂线，垂足为M、N（如图3），则AM与CN是否相等？如果相等，给出证明；如果不相等，请说明理由．

（1）证明：∵在Rt△BAD与Rt△BCD中，BD是斜边，E是BD的中点，
∴AE= $\text{[math]}$ BD，CE= $\text{[math]}$ BD，
∴AE=CE，
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵OE=OF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=CE，

∴平行四边形AECF是菱形；

（2）结论：四边形AFCE是菱形．

（3）解：如图3：
∵四边形AFCE是菱形，
∴EF⊥AC，OA=OC，

∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴BM∥OE∥DN，
∴BE：DE=OM：ON，
∵BE=DE，
∴OM=ON，
∴AM=CN．
分析：（1）由直角三角形斜边上的中线长为斜边的一半，即可证得AE=CE，由AE∥CF，易证得内错角相等，则可得△AEO≌△CFO，得到AE=CF，则证得四边形AECF是菱形；
（2）同理可得四边形AECF是菱形；
（3）首先菱形的性质，可得EF⊥AC，OA=OC，利用垂直于同一直线平行，可证得BM∥OE∥DN，利用平行线分线段成比例定理，即可证得结论的正确性．
点评：此题考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例定理，以及直角三角形的性质．此题图形很复杂，所以要注意仔细分析图形．解此题的关键是数形结合思想的应用．