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一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
A
A
C
D
B
D
C
C
1.B.因但。
2..因,
3.B. 因为的定义域为[0,2],所以对,但故。
4. 函数为增函数
5. ,,…,
6.
7. .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
又,所以
8.
9. .
10...函数
11..一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.
12..当时,显然成立
当时,显然不成立;当显然成立;
当时,则两根为负,结论成立
故
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
13. 14.. 15. 5 16. A、B、D
13.依题意
14.
15. 易求得、到球心的距离分别为3、2,类比平面内圆的情形可知当、与球心共线时,取最大值5。
16., ∴对
取的中点,则, ∴对
设, 则,而,∴错
又,∴对
∴真命题的代号是
三、解答题:本大题共6小题,共74分。
17.解:(1)由
得,
于是=.
(2)因为
所以
的最大值为.
18.解:(1)令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
(2)令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
19.(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,
,
依题意有①
解得或(舍去)
故
(2)
∴
20.解 :(1)证明:依题设,是的中位线,所以∥,
则∥平面,所以∥。
又是的中点,所以⊥,
则⊥。
因为⊥,⊥,
所以⊥面,则⊥,
因此⊥面。
(2)作⊥于,连。
因为⊥平面,
根据三垂线定理知,⊥,
就是二面角的平面角。
作⊥于,则∥,则是的中点,则。
设,由得,,解得,
在中,,则,。
所以,故二面角为。
解法二:(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则
所以
所以
所以平面
由∥得∥,故:平面
(2)由已知设
则
由与共线得:存在有得
同理:
设是平面的一个法向量,
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
21. 解:(1)因为
令得
由时,在根的左右的符号如下表所示
极小值
极大值
极小值
所以的递增区间为
的递减区间为
(2)由(1)得到,
要使的图像与直线恰有两个交点,只要或,
即或.
22.(1)证明:设,
则直线的方程:
即:
因在上,所以①
又直线方程:
由得:
所以
同理,
所以直线的方程:
令得
将①代入上式得,即点在直线上
所以三点共线
(2)解:由已知共线,所以
以为直径的圆的方程:
由得
所以(舍去),
要使圆与抛物线有异于的交点,则
所以存在,使以为直径的圆与抛物线有异于的交点
则