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你能比较两个数20062007和20072006的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1且n为整数），然后，从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形人手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
（1）通过计算，比较下列各组两个数的大小；（填“>”、“＜”或“=”）
①12（ ）21；②23（ ）32；③34（ ）43。
（2）根据（1）的结果归纳，可以猜想nn+1与（n+1）n的大小关系是_______；
（3）利用（2）的结论，可以得到20062007_______20072006（填“>”、“＜”或“=”）。
（1）已知一个正分数
（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论；（2）若正分数
（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。
（1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；
（2）若A馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽，若小明抽得的数字比小华抽得的数字大，门票给小明，否则给小华。” 请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平。
在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。
【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果。
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） .
【研究方程】
提出问题：怎么图解一元二次方程
几何建模：
（1）变形：
（2）画四个长为
，宽为
的矩形，构造图④
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，
或四个长，宽的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积
即： 
∵
∴
∴
∵
∴
归纳提炼：求关于的一元二次方程
的解
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎么运用矩形面积表示
与
的大小关系（其中
）？
几何建模：
（1）画长
，宽
的矩形，按图⑤方式分割
（2）变形：
（3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为；阴影部分面积可以表示为
，
画点部分的面积可表示为，由图形的部分与整体的关系可知：＞
，即
＞
归纳提炼：
当
，
时，表示
与
的大小关系
根据题意，设
，
，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）
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这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。
【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果。
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） .
【研究方程】
提出问题：怎么图解一元二次方程
几何建模：
（1）变形：
（2）画四个长为
，宽为
的矩形，构造图④
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，
或四个长，宽的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积即：
∵
∴
∴
∵
∴
归纳提炼：求关于
的一元二次方程
的解要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎么运用矩形面积表示
与
的大小关系（其中
）？几何建模：
（1）画长
，宽
的矩形，按图⑤方式分割
（2）变形：
（3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为
；阴影部分面积可以表示为
，画点部分的面积可表示为
，由图形的部分与整体的关系可知：＞
，即＞归纳提炼：
当
，
时，表示
与
的大小关系根据题意，设
，
，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）