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理科数学参考答案和评分标准
一、选择题 BCDC BCBD DADC
二、填空题 13.2 14.12+π 15.2 16.100
三、解答题
17.解:当±≠kπ+时,1分
有:f(x)=2sin(+)?cos +tan(+)?tan(-)
=sin x+2cos2-1=sin x+cos x=sin(x+).4分
(1)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,得2kπ-≤x≤2kπ+.
又由±≠kπ+,得x≠2kπ±.6分
∴f(x)的单调增区间是:[2kπ-,2kπ-),(2kπ-,2kπ+](k∈Z).8分
(2)当x∈[0,)时,x+∈[,),则sin(x+)有最小值.10分
此时f(x)min=1,故由题意得1-m>1⇒m<0.12分
18.解:(1)四人恰好买到同一只股票的概率P1=6××××=.4分
(2)(法一)四人中有两人买到同一只股票的概率P2==.
四人中每人买到不同的股票的概率P3===.
所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P=P2+P3=+==.8分
(法二)四人中有三人恰好买到同一只股票的概率P4===.
所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P=1-P1-P4==.8分
(3)每股今天获利钱数ξ的分布列为:
ξ
2
0
-2
P
0.6
0.2
0.2
所以,10手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为
1000Eξ=1000×[2×0.6+0×0.2+(-2)×0.2]=800.12分
19.解:(法一)(1)∵AC1=2,∴∠A
以O为坐标原点,建立如图空间直角坐标系.2分
则A(0,-1,0),B(,0,0),A1(0,0,),C(0,1,0),B1(,1,).
∴=(,1,0),=(,2,),=(0,2,0).
设平面AB
由cos〈,n〉=-得:棱A1B1与平面AB
(2)设存在点P符合,且点P坐标设为P(0,y,z),7分
=+=(-2,0,0),∴D(-,0,0).
∴=(,y,z).平面AB
∴?n=0,得z=,由=λ得:∴y=0,∴P(0,0,).10分
又DP⊄平面AB
(法二)(1)如图可得,B
∴AB1=,AC=2,∴AC⊥B
设B到平面AB
设棱AB与平面AB
又AB∥A1B1,∴A1B1与平面AB
(2)=+,∴四边形ABCD是平行四边形,∴==,8分
∴CDA1B1是平行四边形.∴A1D∥B
又A1D⊄面AB
∴A1D∥平面AB
20.解:(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公式.
由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,等比数列{bn}的前三项是2,2+d,4+2d,
∴(2+d)2=2(4+2d)⇒d=±2.2分
∵an+1>an,∴d>0.∴d=2,∴an=2n-1(n∈N*).4分
由此可得b1=2,b2=4,q=2,∴bn=2n(n∈N*).5分
(2)Tn=++…+=+++…+,①
当n=1时,Tn=+++…+. ②
①-②,得:Tn=+2(++…+)-=+(1-)-.
∴Tn=3--=3-.9分
∴Tn+-=3-<3.10分
∴满足条件Tn+-<c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c=3.12分
21.解:(1)在Rt△F1MF2中,|OM|==2知c=2,
则解得a2=6,b2=2,∴椭圆方程为+=1.4分
(2)设N(m,n)(m≠0),l为y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=x+t与+=1得(+)x2+tx+-1=0,6分
由点N(m,n)在椭圆上知,+=代入得+tx+-1=0,
∴x1+x2=-mnt,x1x2=m2(-1),①8分
∴kNA+kNB=+=
=
将①式代入得kNA+kNB=,
又∵NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形得kNA+kNB=0,10分
∴n2=1代入+=1得m2=3,∴N(±,±1).12分
22.解:(1)f′(x)=-(x>0).依题意f′(x)<0在x>0时有解,即ax2+2x-1>0在x>0有解.则Δ=4+
此时,-1<a<0.4分
(2)a=-,f(x)=-x+b⇔x2-x+ln x-b=0.
设g(x)=x2-x+ln x-b(x>0),则g′(x)=.列表:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,4)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴g(x)极小值=g(2)=ln 2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-,g(4)=-b-2+2ln 2.6分
∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,
则解得:ln 2-2<b≤-.9分
(3)设h(x)=ln x-x+1,x∈[1,+∞),则h′(x)=-1≤0,
∴h(x)在[1,+∞)为减函数,且h(x)max=h(1)=0,故当x≥1时有ln x≤x-1.
∵a1=1,假设ak≥1(k∈N*),则ak+1=ln ak+ak+2>1,故an≥1(n∈N*).
从而an+1=ln an+an+2≤2an+1,∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1).
即1+an≤2n,∴an≤2n-1.14分