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理科数学参考答案和评分标准

 

一、选择题 BCDC BCBD DADC

二、填空题 13.2 14.12+π 15.2 16.100

三、解答题

17.解:当±≠kπ+时,1分

有:f(x)=2sin(+)?cos +tan(+)?tan(-)

=sin x+2cos2-1=sin x+cos x=sin(x+).4分

(1)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,得2kπ-≤x≤2kπ+.

又由±≠kπ+,得x≠2kπ±.6分

∴f(x)的单调增区间是:[2kπ-,2kπ-),(2kπ-,2kπ+](k∈Z).8分

(2)当x∈[0,)时,x+∈[,),则sin(x+)有最小值.10分

此时f(x)min=1,故由题意得1-m>1⇒m<0.12分

18.解:(1)四人恰好买到同一只股票的概率P1=6××××=.4分

(2)(法一)四人中有两人买到同一只股票的概率P2==.

四人中每人买到不同的股票的概率P3===.

所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P=P2+P3=+==.8分

(法二)四人中有三人恰好买到同一只股票的概率P4===.

所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P=1-P1-P4==.8分

(3)每股今天获利钱数ξ的分布列为:

ξ

2

0

-2

P

0.6

0.2

0.2

 

所以,10手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为

1000Eξ=1000×[2×0.6+0×0.2+(-2)×0.2]=800.12分

19.解:(法一)(1)∵AC1=2,∴∠A1AC=60°.侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于点O,则A1O⊥平面ABC,可得:AO=1,A1O=OB=,AO=1,BO⊥AC.

以O为坐标原点,建立如图空间直角坐标系.2分

则A(0,-1,0),B(,0,0),A1(0,0,),C(0,1,0),B1(,1,).

∴=(,1,0),=(,2,),=(0,2,0).

设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1),由解得n=(-1,0,1),4分

由cos〈,n〉=-得:棱A1B1与平面AB1C所成的角的大小为arcsin .6分

(2)设存在点P符合,且点P坐标设为P(0,y,z),7分

=+=(-2,0,0),∴D(-,0,0).

∴=(,y,z).平面AB1C的法向量n=(-1,0,1),又DP∥平面AB1C

∴?n=0,得z=,由=λ得:∴y=0,∴P(0,0,).10分

又DP⊄平面AB1C,故存在点P,使DP∥平面AB1C,其坐标为(0,0,),恰好为A1点.12分

(法二)(1)如图可得,B1C==,△ABM中,得AM=,

∴AB1=,AC=2,∴AC⊥B1C.∴S△AB1C=.

设B到平面AB1C的距离是d,则有d==.3分

设棱AB与平面AB1C所成的角的大小是θ,则sin θ==,5分

又AB∥A1B1,∴A1B1与平面AB1C所成的角的大小是arcsin .6分

(2)=+,∴四边形ABCD是平行四边形,∴==,8分

∴CDA1B1是平行四边形.∴A1D∥B1C,10分

又A1D⊄面AB1C,B1C⊂面AB1C

∴A1D∥平面AB1C,故存在点P即点A1,使DP∥平面AB1C.12分

20.解:(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公式.

由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,等比数列{bn}的前三项是2,2+d,4+2d,

∴(2+d)2=2(4+2d)⇒d=±2.2分

∵an1>an,∴d>0.∴d=2,∴an=2n-1(n∈N*).4分

由此可得b1=2,b2=4,q=2,∴bn=2n(n∈N*).5分

(2)Tn=++…+=+++…+,①

当n=1时,Tn=+++…+. ②

①-②,得:Tn=+2(++…+)-=+(1-)-.

∴Tn=3--=3-.9分

∴Tn+-=3-<3.10分

∴满足条件Tn+-<c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c=3.12分

21.解:(1)在Rt△F1MF2中,|OM|==2知c=2,

则解得a2=6,b2=2,∴椭圆方程为+=1.4分

(2)设N(m,n)(m≠0),l为y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2),

由y=x+t与+=1得(+)x2+tx+-1=0,6分

由点N(m,n)在椭圆上知,+=代入得+tx+-1=0,

∴x1+x2=-mnt,x1x2=m2(-1),①8分

∴kNA+kNB=+=

将①式代入得kNA+kNB=,

又∵NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形得kNA+kNB=0,10分

∴n2=1代入+=1得m2=3,∴N(±,±1).12分

22.解:(1)f′(x)=-(x>0).依题意f′(x)<0在x>0时有解,即ax2+2x-1>0在x>0有解.则Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.

此时,-1<a<0.4分

(2)a=-,f(x)=-x+b⇔x2-x+ln x-b=0.

设g(x)=x2-x+ln x-b(x>0),则g′(x)=.列表:

x

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,4)

g′(x)

0

0

g(x)

?

极大值

?

极小值

?

∴g(x)极小值=g(2)=ln 2-b-2,g(x)极大值=g(1)=-b-,g(4)=-b-2+2ln 2.6分

∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,

则解得:ln 2-2<b≤-.9分

(3)设h(x)=ln x-x+1,x∈[1,+∞),则h′(x)=-1≤0,

∴h(x)在[1,+∞)为减函数,且h(x)max=h(1)=0,故当x≥1时有ln x≤x-1.

∵a1=1,假设ak≥1(k∈N*),则ak1=ln ak+ak+2>1,故an≥1(n∈N*).

从而an1=ln an+an+2≤2an+1,∴1+an1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1).

即1+an≤2n,∴an≤2n-1.14分

 

 

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