摘要：③函数在R上存在反函数,

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2009年4月

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．

1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．

11． 12． 13．

14． 15．①②⑤

三、解答题：本题共6小题，共75分．

16．解：(1) ??????????????????????????????????????? 3分

∴

∵

∴ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴

(2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴ ?????????????? 13分

17．解：(1) 有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为??????????????????????????? 2分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

?????????????????????????????? 9分

??????????????????????????????? 11分

∴ 的分布列为

35

40

45

50

P

???????????????????????????????????? 13分

18．(1) 证明：取CE中点M，则 FMDE

∵ ABDE ∴ ABFM

∴ ABMF为平行四边形

∴ AF∥BM

又AF平面BCE，BM平面BCE

∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 解：过C作l∥AB，则l∥DE ∴ 平面ABC平面CDE = l

∵ AB⊥平面ACD ∴ l⊥平面ACD

∴ ∠ACD即为所求二面角的平面角，为60?????????????????????????????????? 8分

(3) 解：设B在平面AFE内的射影为，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．

∴ BE与平面AFE所成角为

∵ AF⊥CD，AF⊥DE ∴ AF⊥平面CDE ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

∵ BM∥平面AEF ∴

由△CGF∽△EDF，得 ∴

而 ∴

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

19．解：(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

由由

∴ 上单调递减，在上单调递增????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????? 6分

∵ 上递减 ∴ ??????????????? 9分

设 ∵ ∴上递减

∴ 即

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：(1) B（0，? b），A（，0），F（c，0），P（c，）

∵ ∴ D为线段FP的中点，

∴ D为（c，）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∴ ，∴ a = 2b，

∴ ?????????????????????????????????????????????? 5分

(2) a = 2，则b = 1，B（0，?1）双曲线的方程为 ①

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（0，m）

由

由已知???????????????????????????? 7分

设

整理得：

对满足的k恒成立

∴ ．

故存在y轴上的点C（0，4），使为常数17．????????????????????? 12分

21．解：(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

切线方程为与y = kx联立得：

，令y = 0得：x_B = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

∴ ??????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

两边取倒数得： ∴

∴ 是以为首项，为公比的等比数列（时）

或是各项为0的常数列（k = 3时），此时a_n = 1

时??????????????????????????????? 7分

当k = 3时也符合上式

∴????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(3) 作差得

其中

由于 1 < k < 3，∴

∴

当?????????????????????????????????????????????????? 12分

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜

x，定义数列a_n：a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求证：an+1+an-1＜

an(n=1，2，…)；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(

)n（n∈N^*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=

成立；②当n=2，3，…时，有an＜

成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．查看习题详情和答案>>

设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是

（请将你认为正确的序号都填上）
（1）f（x）是R上的单调递减函数；
（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；
（4）f（x）存在反函数f^-1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f^-1（x）成立．查看习题详情和答案>>

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f(x)=

图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=

．在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A₁，A₂，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标y_P＞3，求点P到直线A₁A₂距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面．

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设函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=

图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标y_M＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．

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设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是 ________（请将你认为正确的序号都填上）
（1）f（x）是R上的单调递减函数；
（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；
（4）f（x）存在反函数f^-1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f^-1（x）成立．

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