题目内容

设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.
(1)若函数f(x)=
3x+ax+b
图象上有两个关于原点对称的不动点,求a,b应满足的条件;
(2)在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、B,点M为函数图象上的另一点,且其纵坐标yM>3,求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标;
(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点的有奇数个”是否正确?若正确,给出证明,并举一例;若不正确,请举一反例说明.
分析:(1)根据不动点的定义,得出方程=
3x+a
x+b
=x有两不等的实根,且互为相反数.转化成二次方程,利用根与系数的关系求解.
(2)先求出直线AB的方程是y=x,设点M(x,y)到直线y=x的距离为d,利用点到直线距离公式列出d的表达式,消元后转化成一元函数,求最值即可.
(3)定义在R上的奇函数f(x)必有f(0)=0,且 若f(x)除0外还有不动点(x1,x1),结合奇函数的定义得出,(-x1,-x1)也是函数的不动点.共有奇数个不动点.
解答:解:(1)若点(x0,x0)是不动点,则
3x0+a
x0+b
=x0

即x02+(b-3)x0-a=0(1分)
由题意方程有两绝对值相等,符号相反的根,∴b-3=0,且-a<0
即:b=3,且a>0.…(3分)
由x0≠-b知,a≠9,∴b=3,a>0且a≠9.…(5分)
(2)当a=8时,由题意f(x)=
3x+8
x+3
.直线AB的方程是y=x.…(6分)
设点M(x,y)到直线y=x的距离为d,则d=
|x-y|
2
=
1
2
|
8-3y
y-3
-y|=
1
2
|
8-y2
y-3
|=
2
2
y2-9+1
y-3
=
2
2
[(y+3)+
1
y-3
]

=
2
2
[(y-3)+
1
y-3
+6]
4
2
…(9分)
当且仅当y-3=
1
y-3
即y=4时,不等式取等号,
此时x=-4,M(-4,4).…(10分)
(3)命题正确…(11分)
由f(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),取x=0,得f(0)=0,
即(0,0)为函数的不动点.…(12分)
如果f(x)除0外还有不动点(x1,x1),x1≠0,则不动点f(x1)=x1
又∵f(-x1)=-f(x1)=-x1,∴(-x1,-x1)也是函数的不动点.
∴若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点的有奇数个.(13分)
例f(x)=x3.…(14分)
点评:本题是新定义类型题目.考查方程的解的个数判断,奇函数的定义、性质,点到直线距离,函数求最值的知识和消元思想.考查计算、论证能力.
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