Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=

3x+a

x+b

图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标y_M＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．

Answer 1

分析：（1）根据不动点的定义，得出方程=

3x+a

x+b

=x有两不等的实根，且互为相反数．转化成二次方程，利用根与系数的关系求解．
（2）先求出直线AB的方程是y=x，设点M（x，y）到直线y=x的距离为d，利用点到直线距离公式列出d的表达式，消元后转化成一元函数，求最值即可．
（3）定义在R上的奇函数f（x）必有f（0）=0，且 若f（x）除0外还有不动点（x₁，x₁），结合奇函数的定义得出，（-x₁，-x₁）也是函数的不动点．共有奇数个不动点．

解答：解：（1）若点（x₀，x₀）是不动点，则

3x0+a

x0+b

=x0，
即x₀²+（b-3）x₀-a=0（1分）
由题意方程有两绝对值相等，符号相反的根，∴b-3=0，且-a＜0
即：b=3，且a＞0．…（3分）
由x₀≠-b知，a≠9，∴b=3，a＞0且a≠9．…（5分）
（2）当a=8时，由题意f（x）=

3x+8

x+3

．直线AB的方程是y=x．…（6分）
设点M（x，y）到直线y=x的距离为d，则d=

|x-y|

2

=

1

2

|

8-3y

y-3

-y|=

1

2

|

8-y2

y-3

|=

2

2

•

y2-9+1

y-3

=

2

2

[(y+3)+

1

y-3

]
=

2

2

[(y-3)+

1

y-3

+6]≥4

2

…（9分）
当且仅当y-3=

1

y-3

即y=4时，不等式取等号，
此时x=-4，M（-4，4）．…（10分）
（3）命题正确…（11分）
由f（x）是奇函数，∴f（-x）=f（x），取x=0，得f（0）=0，
即（0，0）为函数的不动点．…（12分）
如果f（x）除0外还有不动点（x₁，x₁），x₁≠0，则不动点f（x₁）=x₁
又∵f（-x₁）=-f（x₁）=-x₁，∴（-x₁，-x₁）也是函数的不动点．
∴若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个．（13分）
例f（x）=x³．…（14分）

点评：本题是新定义类型题目．考查方程的解的个数判断，奇函数的定义、性质，点到直线距离，函数求最值的知识和消元思想．考查计算、论证能力．