设函数
（1）求函数y=T（sin（x））和y=sin（T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当x∈[0，]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．

（14分）设数列的前项和为。

（I）求证：是等差数列；

（Ⅱ）设是数列的前项和，求；

（Ⅲ）求使对所有的恒成立的整数的取值集合。

设数列{a_n}的前n项和S_n=n²－4n+4.

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设各项均不为0的数列{b_n}中，所有满足b_i?b_i+1<0的整数i的个数称为这个数列{b_n}的变号数，令，求数列{b_n}的变号数；

（3）试求实数λ的取值范围，使得不等式对一切恒成立.

已知函数，.

（Ⅰ）若函数依次在处取到极值.求的取值范围；

（Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数的最大值.

【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。

第二问中，利用存在实数，使对任意的，不等式 恒成立转化为，恒成立，分离参数法求解得到范围。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

设，则.

设，则，因为，有.

故在区间上是减函数。又

故存在，使得.

当时，有，当时，有.

从而在区间上递增，在区间上递减.

又[来源:]

所以当时，恒有；当时，恒有；

故使命题成立的正整数m的最大值为5