题目内容

设函数 $数学公式$
（1）求函数y=T（sin（ $数学公式$ x））和y=sin（ $数学公式$ T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^）
①当x∈[0， $数学公式$ ]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]（i∈N^，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（ $数学公式$ -x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （k∈Z），
由 $\text{[math]}$ ，得： $\text{[math]}$ （k∈Z）．
所以，函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$ ．
（2） $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
当a=0时，则有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
当a＞0时，当且仅当a=1时有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
综上可知当a=0或a=1时，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①当 $\text{[math]}$ 时，对于任意的正整数i∈N^*，1≤i≤n-1，
都有 $\text{[math]}$ ，
故有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2ⁿx．
②由①可知当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，根据命题的结论可得，
当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，
故有 $\text{[math]}$ =-2ⁿx+2．
因此同理归纳得到，当 $\text{[math]}$ （i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）时，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
对于给定的正整数m，当 $\text{[math]}$ 时，
解方程T_m（x）=kx得， $\text{[math]}$ ，
要使方程T_m（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2^m个不同的实数根，
对于任意i∈N，0≤i≤2^m-1，必须 $\text{[math]}$ 恒成立，
解得 $\text{[math]}$ ，若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}，
由此可得 $\text{[math]}$ （n∈N^*，1≤i≤2^m）．
故数列{x_n}所有2^m项的和为：
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，解出x的范围，然后直接把 $\text{[math]}$ 代入分段函数解析式即可，
求y=sin（ $\text{[math]}$ T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分别写出函数y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出当a=0时aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0时，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1时此等式成立；
（3）①当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，x∈[0， $\text{[math]}$ ），则在函数T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=T_n（x）的解析式；
②根据题目给出的条件：当x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（ $\text{[math]}$ -x）恒成立，
求出当 $\text{[math]}$ （i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）时的T_n（x）的解析式，再由方程T_m（x）=kx求得当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，那么，数列{x_n}所有2^m项的和可利用分组进行求和．
点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数恒成立问题，考查了数列的函数特性及数列的分组求和，特别是（3）中的②涉及到复杂条件下的函数解析式的求解及方程根的问题，需要学生有清晰的头脑，考查了学生进行复杂运算的能力，此题是难度较大的题目．