摘要：例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形.再把它的边沿虚线折起.做成一个无盖的方底箱子.箱底的边长是多少时.箱底的容积最大?最大容积是多少? 解法一:设箱底边长为xcm.则箱高cm.得箱子容积 ． 令 ＝0. 解得 x=0.x=40. 并求得 V(40)=16 000 由题意可知.当x过小时.箱子容积很小.因此.16 000是最大值 答:当x=40cm时.箱子容积最大.最大容积是16 000cm3 解法二:设箱高为xcm.则箱底长为(60-2x)cm.则得箱子容积 ． 由题意可知.当x过小或过大时箱子容积很小.所以最大值出现在极值点处．事实上.可导函数.在各自的定义域中都只有一个极值点.从图象角度理解即只有一个波峰.是单峰的.因而这个极值点就是最值点.不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时.它的高与底与半径应怎样选取.才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h.底半径为R.则表面积S=2πRh+2πR2 由V=πR2h.得.则S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得.R=. 从而h====2 即h=2R. 因为S(R)只有一个极值.所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时.所用材料最省 变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时.它的高与底面半径应怎样选取.才能使所用材料最省? 提示:S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q.价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时.利润L最大? 分析:利润L等于收入R减去成本C.而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式.再用导数求最大利润． 解:收入. 利润 令.即. 求得唯一的极值点 答:产量为84时.利润L最大 课堂巩固: 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积． 归纳反思: 合作探究1.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分.其中 是瓶子的半径.单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料.制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:(1)瓶子的半径多大时.能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时.每瓶的利润最小?

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