已知一个数列{a_n}的各项都是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前n项的和为S_n．参考：31×32=992，32×33=1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）试问第10个1为该数列的第几项？
（II）求a₂₀₁₂和S₂₀₁₂；
（III）是否存在正整数m，使得S_m=2012？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

已知有穷数列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项a_i，a_j，将

ai+aj

1+aiaj

的值添在A的最后，然后删除a_i，a_j，这样得到一个n-1项的新数列A₁（约定：一个数也视作数列）．若A₁还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A₂，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作A_k．
（Ⅰ）设A：0，

1

2

，

1

3

…请写出A₁的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：-

5

7

，-

1

6

，-

1

5

，-

1

4

，

5

6

，

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

，

1

6

…求A₉的可能结果，并说明理由．

已知在直角坐标系中，An(an，0)，Bn(0，bn)(n∈N*)，其中数列{a_n}，{b_n}都是递增数列．
（1）若a_n=2n+1，b_n=3n+1，判断直线A₁B₁与A₂B₂是否平行；
（2）若数列{a_n}，{b_n}都是正项等差数列，设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n（n∈N^*），求证：{S_n}也是等差数列；
（3）若an=2n，bn=an+b(a，b∈Z)，b1≥-12，记直线A_nB_n的斜率为k_n，数列{k_n}的前8项依次递减，求满足条件的数列{b_n}的个数．

（2009•湖北模拟）给出定义：在数列{a_n}中，都有

a

2 n

-

a

2 n-1

=p(n≥2，n∈N*)（ p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
（1）数列{a_n}是等方差数列，则数列{

a

2 n

}是等差数列；
（2）数列{（-1）ⁿ}是等方差数列；
（3）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数数列；
（4）若数列{a_n}是等方差数列，则数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列．
其中正确命题序号为．