题目内容
已知有穷数列A：a1，a2，…，an，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为
数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将
的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一个n-1项的新数列A1（约定：一个数也视作数列）．若A1还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A2，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．
（Ⅰ）设A：0，
，
…请写出A1的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：-
，-
，-
，-
，
，
，
，
，
，
…求A9的可能结果，并说明理由．
数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将| ai+aj |
| 1+aiaj |
数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A2，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．（Ⅰ）设A：0，
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（Ⅱ）求证：对于一个n项的
数列A操作T总可以进行n-1次；（Ⅲ）设A：-
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分析：（Ⅰ）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出A1的所有可能的结果；
（Ⅱ）先通过作差得到每次操作后新数列仍是T数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；
（Ⅲ）先定义运算：a⊙b=
，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（Ⅱ）可知A9中仅有一项，再按定义先求出A5，综合即可得到A9的可能结果．
（Ⅱ）先通过作差得到每次操作后新数列仍是T数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；
（Ⅲ）先定义运算：a⊙b=
| a+b |
| 1+ab |
解答：解：（Ⅰ）直接按定义来操作，当取0，
时代入计算可得：A1；
，
；
当取0，
时可得A1：
，
；
当取
，
时，可得A1：0，
．
故有如下的三种可能结果：A1；
，
；A1：
，
；A1：0，
．…（3分）
（Ⅱ）因为对?a，b∈{x|-1＜x＜1}，有
-1=
＜0且
-(-1)=
＞0
所以
∈{x|-1＜x＜1}，
即每次操作后新数列仍是T数列．
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，
所以对T数列A每操作一次，项数就减少一项，
所以对n项的T数列A可进行（n-1）次操作（最后只剩下一项）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A9中仅有一项．
对于满足a，b∈{x|-1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a⊙b=
，
下面证明这种运算满足交换律和结合律．
因为a⊙b=
，且b⊙a=
，所以a⊙b=b⊙a，即该运算满足交换律；
因为a⊙（b⊙c）=a⊙
=
=
且（a⊙b）⊙c=
c=
=
所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即该运算满足结合律．
所以A9中的项与实施的具体操作过程无关 …．…．（12分）
选择如下操作过程求A9：
由（Ⅰ）可知
⊙
=
；
易知-
⊙
=0，-
⊙
=0，-
⊙
=0，-
⊙
=0；
所以A5：
，0，0，0，0．；
易知A5经过4次操作后剩下一项为
．
综上可知：A9：
．…（14分）
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| 1 |
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当取0，
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当取
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故有如下的三种可能结果：A1；
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| 7 |
（Ⅱ）因为对?a，b∈{x|-1＜x＜1}，有
| a+b |
| 1+ab |
| -(a-1)(b-1) |
| 1+ab |
| a+b |
| 1+ab |
| (a+1)(b+1) |
| 1+ab |
所以
| a+b |
| 1+ab |
即每次操作后新数列仍是T数列．
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，
所以对T数列A每操作一次，项数就减少一项，
所以对n项的T数列A可进行（n-1）次操作（最后只剩下一项）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A9中仅有一项．
对于满足a，b∈{x|-1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a⊙b=
| a+b |
| 1+ab |
下面证明这种运算满足交换律和结合律．
因为a⊙b=
| a+b |
| 1+ab |
| b+a |
| 1+ba |
因为a⊙（b⊙c）=a⊙
| b+c |
| 1+bc |
a+
| ||
1+a•
|
| a+b+c+abc |
| 1+ab+bc+ac |
且（a⊙b）⊙c=
| a+b |
| 1+ab |
| ||
1+
|
| a+b+c+abc |
| 1+ab+ac+bc |
所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即该运算满足结合律．
所以A9中的项与实施的具体操作过程无关 …．…．（12分）
选择如下操作过程求A9：
由（Ⅰ）可知
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易知-
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| 1 |
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| 1 |
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| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
所以A5：
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| 6 |
易知A5经过4次操作后剩下一项为
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| 6 |
综上可知：A9：
| 5 |
| 6 |
点评：本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，避免错误．
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，请写出A1的所有可能的结果；
，求A9的可能结果，并说明理由. 
的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一个n-1项的新数列A1（约定：一个数也视作数列）．若A1还是
，
…请写出A1的所有可能的结果；
，-
，-
，-
，
，
，
，
，
，
…求A9的可能结果，并说明理由．
的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一系列n-1项的新数列A1 （约定：一个数也视作数列）；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列n-2项的新数列A2，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．设A：
，则A3的可能结果是（ ）
