Question

（2009•湖北模拟）给出定义：在数列{a_n}中，都有

a

2 n

-

a

2 n-1

=p(n≥2，n∈N*)（ p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
（1）数列{a_n}是等方差数列，则数列{

a

2 n

}是等差数列；
（2）数列{（-1）ⁿ}是等方差数列；
（3）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数数列；
（4）若数列{a_n}是等方差数列，则数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列．
其中正确命题序号为

（1）（2）（3）（4）

．

Answer 1

分析：（1）利用等方差和等差数列的定义去判断．（2）利用等方差的定义判断．（3）利用等方差数列和等差数列的定义．（4）先表示出{a_kn}的通项公式，然后利用等方差的定义进行判断．

解答：解：（1）若数列{a_n}是等方差数列，则有

a

2 n

-

a

2 n-1

=p(n≥2，    n∈N*)，则数列{

a

2 n

}是公差为p的等差数列，所以（1）正确．
（2）若数列为{（-1）ⁿ}是，则an2-an-12=1n-1n=0，所以数列{（-1）ⁿ}是等方差数列，所以（2）正确．
（3）若数列{a_n}是等方差数列，则an2-an-12=p，即（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=p，
因为{a_n}是等差数列，所以a_n-a_n-1=d，所以（a_n+a_n-1）d=p，
1°当d=0时，数列{a_n}是常数列．
2°当d≠0时，an=

d

2

+

p

2d

，所以数列{a_n}是常数列，综上数列{a_n}是常数列，所以（3）正确．
（4）数列{a_n}中的项列举出来是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
数列{a_kn}中的项列举出来是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
因为（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
所以（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
所以（a_kn+1²-a_kn²）=kp
所以{a_kn}（k∈N^*，k为常数）是等方差数列．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评：本题考查新定义以及等差数列的定义及其应用，解题时要注意掌握数列的概念，以及推理过程．