题目内容
在数列{an}中，都有an2-an-12=p（n≥2，n∈N*）（p为常数），则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：（1）数列{（-1）n}是等方差数列；
（2）数列{an}是等方差数列，则数列{an2}也是等方差数列；
（3）若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；
（4）若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}（k为常数，k∈N*）也是等方差数列．
则正确命题序号为
分析：利用等方差的定义一个一个地进行演算，能够推出（2）不正确，其作的都正确．
解答：解：（1）数列{（-1）n}中，an2-an-12=[（-1）n]2-[（-1）n-1]2=0，（n≥2，n∈N*），
∴数列{（-1）n}是等方差数列．故（1）成立．
（2）例如：数列{
}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，
所以（2）不正确．
（3）∵数列{an}是等差数列，∴an-an-1=d．∵数列{an}是等方差数列，∴an2-an-12=m，
∴（an-an-1）d=m，∴当d≠0时，an=d+
，既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列．
（4）数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，…，a2k，…
数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…
∵（ak+12-ak2）=（ak+22-ak+12）=…=a2k2-a2k-12=p
∴（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+…+（a2k2-a2k-12）=kp
∴akn+12-akn2=kp，所以，数列{akn}是等方差数列．
故正确命题序号为（1）、（3）、（4）．
∴数列{（-1）n}是等方差数列．故（1）成立．
（2）例如：数列{
| n |
所以（2）不正确．
（3）∵数列{an}是等差数列，∴an-an-1=d．∵数列{an}是等方差数列，∴an2-an-12=m，
∴（an-an-1）d=m，∴当d≠0时，an=d+
| m |
| d |
（4）数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，…，a2k，…
数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…
∵（ak+12-ak2）=（ak+22-ak+12）=…=a2k2-a2k-12=p
∴（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+…+（a2k2-a2k-12）=kp
∴akn+12-akn2=kp，所以，数列{akn}是等方差数列．
故正确命题序号为（1）、（3）、（4）．
点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意掌握数列的概念．
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