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一、选择题:ADBAA BCCDB
二、填空题
11.; 12. ; 13.
14.()③⑤ ()②⑤ 15. (); () 0
三、解答题:
16.解:(1)
…………5分
由成等比数列,知不是最大边
…………6分
(2)由余弦定理
得ac=2 …………11分
= …………12分
17.解:(Ⅰ).
(Ⅱ).
1当时,则.此时轮船更安全.
2当时,则.此时轮船和轮船一样安全.
3当时,则.此时轮船更安全.
解:方法一
(Ⅰ)取的中点,连结,由知,又,故,所以即为二面角的平面角.
在△中,,,,
由余弦定理有
,
所以二面角的大小是.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知道平面,故平面平面,故在平面上的射影一定在直线上,所以点到平面的距离即为△的边上的高.
故. …(12分)
19.解: (Ⅰ)∵△ABC的边长为
∵△ADE面积等于△ABC面积的一半,
∴x?AEsin60°=?(
解得AE=,?
在△ADE中,由余弦定理:?
y2=x2+?cos60°,?
∴y2=x2+-
∴y= (a≤x≤
(Ⅱ)证明:∵y= (a≤x≤
且y=,设f(t)=t+(a2≤t≤
当t∈(a2,
f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)
=(t1-t2)?,?
∵a2<t1<t2<
∴t1t2>0,t1-t2>0,t1t2-
∴f(t1)-f(t2)>0,即f(t1)>f(t2)?
∴f(x)在(a2,
同理可得,f(x)在(
又∵f(
20.解:(Ⅰ)∵,∴,
又∵,∴,
∴,
∴椭圆的标准方程为. ………(3分)
当的斜率为0时,显然=0,满足题意,
当的斜率不为0时,设方程为,
代入椭圆方程整理得:.
,,.
则
,
而
∴,从而.
综合可知:对于任意的割线,恒有. ………(8分)
(Ⅱ),
即:,
当且仅当,即(此时适合于的条件)取到等号.
∴三角形△ABF面积的最大值是. ………………………………(13分)
21.解:(Ⅰ)由
故x>0或x≤-1
f(x)定义域为 …………………………(4分)
(Ⅱ)
下面使用数学归纳法证明:
①在n=1时,a1=1,<a1<2,则n=1时(*)式成立.
②假设n=k时成立,
由
要证明:
只需
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k
而4k2+2k≥1在k≥1时恒成立.
只需证:4k2+11k+8>0,而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.
于是:
因此得证.
综合①②可知(*)式得证.从而原不等式成立. ………………9分
(Ⅲ)要证明:
由(2)可知只需证:
…………(**)
下面用分析法证明:(**)式成立。
要使(**)成立,只需证:
即只需证:(3n-2)3n>(3n-1)3(n-1)
只需证:2n>1
而2n>1在n≥1时显然成立.故(**)式得证:
于是由(**)式可知有:
因此有:
……………………………………(13分)