摘要:① ②

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一、选择题:ADBAA    BCCDB

二、填空题

11.;        12. ;          13

14.()③⑤  ()②⑤              15. (;    () 0

三、解答题:

16.解:(1)

                                                                …………5分

成等比数列,知不是最大边

                                                    …………6分

(2)由余弦定理

ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解:(Ⅰ)

(Ⅱ)

1当时,则.此时轮船更安全.

2当时,则.此时轮船和轮船一样安全.

3当时,则.此时轮船更安全.

解:方法一

(Ⅰ)取的中点,连结,由,又,故,所以即为二面角的平面角.

在△中,

由余弦定理有

所以二面角的大小是.(6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知道平面,故平面平面,故在平面上的射影一定在直线上,所以点到平面的距离即为△的边上的高.

.                             …(12分)

 

19.解: (Ⅰ)∵△ABC的边长为2aDAB上,则ax2a,?

∵△ADE面积等于△ABC面积的一半,

x?AEsin60°=?2a2,?

解得AE,?

在△ADE中,由余弦定理:?

y2x2?cos60°,?

y2x22a2

y  (ax2a)?

(Ⅱ)证明:∵y  (ax2a),令x2t,则a2t4a2

y,设ft)=ta2t4a2)?

t∈(a22a2)时,任取a2t1t22a2,?

ft1)-ft2)=(t1)-(t2

=(t1t2)?,?

a2t1t22a2?

t1t2>0,t1t2>0,t1t24a4<0?

ft1)-ft2)>0,即ft1)>ft2)?

fx)在(a22a2)上是减函数.?

同理可得,fx)在(2a24a2)上是增函数.?

又∵f2a2)=4a2fa2)=f4a2)=5a2,当t2a2时,fx)有最小值,即xa时,y有最小值,且ymin=a,此时DEBCADa;当ta24a2时,fx)有最大值,即xa2a时,y有最大值,且ymaxa,此时DEABAC边上的中线.?

 

20.解:(Ⅰ)∵,∴

又∵,∴

∴椭圆的标准方程为.                                      ………(3分)

的斜率为0时,显然=0,满足题意,

的斜率不为0时,设方程为

代入椭圆方程整理得:

         

,从而

综合可知:对于任意的割线,恒有.                ………(8分)

(Ⅱ)

即:

当且仅当,即(此时适合于的条件)取到等号.

∴三角形△ABF面积的最大值是.                 ………………………………(13分)

21.解:(Ⅰ)由

故x>0或x≤-1

f(x)定义域为                          …………………………(4分)

(Ⅱ)

下面使用数学归纳法证明:

①在n=1时,a1=1,<a1<2,则n=1时(*)式成立.

②假设n=k时成立,

要证明:

只需

只需(2k+1)3≤8k(k+1)2

只需1≤4k2+2k

而4k2+2k≥1在k≥1时恒成立.

只需证:4k2+11k+8>0,而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.

于是:

因此得证.

综合①②可知(*)式得证.从而原不等式成立.                     ………………9分

(Ⅲ)要证明:

由(2)可知只需证:

…………(**)

下面用分析法证明:(**)式成立。

要使(**)成立,只需证:

即只需证:(3n-2)3n>(3n-1)3(n-1)

只需证:2n>1

而2n>1在n≥1时显然成立.故(**)式得证:

于是由(**)式可知有:

因此有:

                     ……………………………………(13分)

 

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