2009.5

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

D

B

A

C

A

B

C

D

二．填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分。第11～13题为必做题，第14～15题，考生只能从中选做两题，若全答只计前一题的得分。

11：；  12：甲；    13：；  14：；        15：；

解答提示

1．解：则，不符合，则，或，则，成立．

2.解：，故实部为．

3.解：，则，．

4.解：．

5.解：支出在元的频率为．．

6.解：由真值表可判断，若为假命题，则 至少有一假

7.解：当,由，当,由， ．

8.解：数形结合,将方程组有实数解,表示为直线与圆有公共点，则圆心到

　直线距离不超过半径：．

9.解：设长方体的同一顶点的三条棱为，对角线在各面上的投影为面对角线长，

　故，，故球的表面积：．

10.解：如右图，直线和的交点为，

且、，故所求概率为．

11.解：周期．

12. 解：平均数，方差，，故甲发挥比乙稳定．

13. 解：已知双曲线，，，且不妨设

　　由得，又，则为直角三角形

　　故．

14. 解：曲线表示的椭圆标准方程为，可知点、

　　椭圆的焦点，故．

15. 解：为直径所对的圆周角，则，在中，，

    由等面积法有，故得．

三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）为锐角，

   ，                 

   ；                  …………………4分

   ∴……… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，∴        …………………7分

　由正弦定理，可得      …………………9分

  ∴             …………………12分

17. （本小题满分12分）

解: （I） 用　甲乙丙甲　表示一种传球方法，（也可用树形图表示，如下图）

　所有传球方法共有

　　甲乙甲乙；　甲乙甲丙；　　甲乙丙甲；　　甲乙丙乙；

　　甲丙甲乙；　甲丙甲丙；　　甲丙乙甲；　　甲丙乙丙；

　则共有８种传球方法　　　　　　　　　　        …………………………………………8分

                                        （情况列举不足或过剩给4分）

（Ⅱ）记求第3次球恰好传回给甲的事件为，          

由（I）可知共有两种情况，则

　．　                      …………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）证法一：取中点为，连结，中，…………1分

  ∵，∴且…………2分

又∵且，

∴且 …………3分

四边形为平行四边形，∴…………4分

∵平面，平面，

∴平面，　　　        ………………7分

证法二：由图1可知，…………1分

折叠之后平行关系不变

∵平面，平面，

∴平面，

同理平面　   …………4分

∵，平面，

　　∴平面平面 　　　　　　　　　…………6分

∵平面，∴平面          …………7分

（Ⅱ）解法1: ∵                     …………8分

      由图1可知

∵平面平面，平面平面

平面，

∴平面，　　　　　　　　　　　　…………11分

    由图1可知…………12分

    ∴

    解法2: 由图1可知，

∵

∴平面，                        …………9分

∵

点到平面的距离等于点到平面的距离为1，…………11分

    由图1可知…………12分

    ∴

解法3: 过作,垂足为,…………8分

由图1可知

∵平面平面，

平面平面

平面，

∴平面，　　　　　

∵平面∴，

    平面              …………11分

     由，，

　　，  …………12分

   在中,由等面积法可得…………13分

∴…………14分

19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）　已知椭圆的短半轴为，半焦距为，

　由离心率等于　　　　　　　　         …………………………2分

  ∴，　　　　　　　　　                           …………………………３分

  ∴椭圆的上顶点，∴抛物线的焦点为，

　∴抛物线的方程为　                            　…………………………6分

（Ⅱ）设直线的方程为，，

  ∴  ∴切线、的斜率分别为、　     …………………………8分

  当时，即：　                      …………………………9分

   由得： 

  解得或 ①

　∴即：