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一．选择题：DCBBA
二．填空题：11．4x－3y－17 = 0 12．33 13．
14．
15．
三．解答题：
16．(1)解：由频率分布条形图知，抽取的学生总数为
人 4分
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d
由4×22＋6d = 100解得：d = 2 6分
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． 8分
(2)解：在抽取的学生中，任取一名学生，分数不小于90分的概率为
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75 12分
17．(1)解：∵
，
2分
∴由
得：
，即
4分
又∵
，∴
6分
(2)解：
8分
由
得：
，即
10分
两边平方得：
，∴
12分
18．方法一
(1)证：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC 4分
(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角
6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小为45°
8分
(3)解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连结DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角
10分
设AB = a，在Rt△BHD中，
，
∴
， 10分
解得：
，即线段AB的长度为1 12分
方法二
(1)同方法一 4分
(2)解：设以过B点且∥CD的向量为x轴，
为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，
= (1，1，0)，
= (0，0，a)
平面ABC的法向量
= (1，0，0)
设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则
取n = (1，－1，0)
6分
∴二面角C－AB－D的大小为45° 8分
(3)解：
= (0，1，－a)，
= (1，0，0)，
= (1，1，0)
设平面ACD的一个法向量是m = (x，y，z)，则
∴取m = (0，a，1)，由直线BD与平面ACD所成角为30°，故向量、m的夹角为60°
故
10分
解得：，即线段AB的长度为1 12分
19．(1)解：设M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即
2分
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1
∴曲线C的方程为
． 4分
(2)解法一：设直线PQ方程为
(
∈R)
由
得：
6分
显然，方程①的
，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有
8分
令
，则t≥4，
10分
当
时有最大值9，故
，即S≤3，∴△APQ的最大值为3 12分
解法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3
设直线PQ方程为
由
得：
① 6分
显然，方程①的△＞0，则
∴
8分
10分
令
，则
∴
，即S＜3
∴△APQ的最大值为3 12分
20．(1)解：
∵a＜0，∴
故函数f (x)在区间(－∞，
)、(－a，＋∞)上单调递增，在(，－a)上单调递减 4分
(2)解：∵二次函数
有最大值，∴a＜0 5分
由
得：
6分
∵函数
与
的图象只有一个公共点，
∴
，又a＜0，∴－1≤a＜0 8分
又
，∴
(－1≤a＜0) 10分
(3)解：当a < 0时，函数f (x)在区间(－∞，)、(－a，＋∞)上单调递增，
函数g (x)在区间(－∞，
)上单调递增
∴
12分
当a > 0时，函数f (x)在区间(－∞，－a)、(，＋∞)上单调递增，
函数g (x)在区间(，＋∞)上单调递增
∴
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，
]∪[3，＋∞) 13分
21．(1)解：记
令x = 1得：
令x =－1得：
两式相减得：
，∴
4分
当n≥2时，
当n = 1时，
，适合上式
∴
6分
(2)解：
注意到
8分
可改写为：
∴
故
10分
∴
12分
14分
(本大题满分12分)
已知点A(－1，0)、B(1，0)和动点M满足：
，且
，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)求△APQ面积的最大值．
(本小题满分12分)
已知函数f（x）=x3－ax2，其中a为实常数.
（1）设当x∈（0，1）时，函数y = f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥－1，求a的取值范围
（2）当x∈［－1，1］时，求函数y=f（x）+a（x2－3x）的最大值.
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(本小题满分12分)
已知函数f（x）=x3－ax2，其中a为实常数.
（1）设当x∈（0，1）时，函数y = f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥－1，求a的取值范围
（2）当x∈［－1，1］时，求函数y=f（x）+a（x2－3x）的最大值.
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=1（a＞0，b＞0）的一条准线方程为x=
，一个顶点到一条渐近线的距离为
.（1）求双曲线C的方程；
（2）动点P到双曲线C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数（大于|AF|），且cosAPF的最小值为－
，求动点P的轨迹方程.已知直三棱柱
中, 
,
，
是
和
的交点, 若
.
（1）求
的长； （2）求点
到平面
的距离；
（3）求二面角
的平面角的正弦值的大小.
【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACC
A为正方形, 
AC=3
第二问中，利用面BBCC内作CD
BC,
则CD就是点C平面ABC的距离CD=
，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为
解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3
…………… 5分
(2)在面BBCC内作CDBC,
则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB,
过E作EHAB于H, 连HC,
则HCAB
CHE为二面角C－AB－C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分
解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0,
0, 0), B(4,
0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3,
0), A(0,
0, h), A(0, －3, h), G(2, －
, －
) ……………………… 3分
=(2, －, －), 
=(0,
－3, －h) ……… 4分
·=0,
h=3
(2)设平面ABC得法向量
=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
点A到平面ABC的距离为H=|
|=……… 8分
(3) 设平面ABC的法向量为
=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C－AB－C的大小
满足cos=
=
………
11分
二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为
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