已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=

1

2

．
（1）若n∈N^*时，求f（n）的表达式；
（2）设bn=

nf(n+1)

f(n)

  (n∈N*)，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

．

设f（x）=

x

a(x+2)

，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=

1

1003

，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求实数a；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若a_n=

4

xn

-4009，b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

设数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求数列{b_n}的前n项和T_n．

已知数列{a_n}，{b_n}，且满足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为常数列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若数列{

an

n

}中必有某数重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件．