题目内容
已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．
（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．记cn=a6n-1（n≥1），求证：数列{cn}为常数列；
（3）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．若数列{
}中必有某数重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．
（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．记cn=a6n-1（n≥1），求证：数列{cn}为常数列；
（3）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．若数列{
| an | n |
分析：（1）利用“累加求和”和等差数列的前n项和公式即可求出；
（2）通过已知条件先探究数列{bn}是一个以6为周期的循环数列，进而即可证明数列{cn}为常数列．
（3）由条件探索出：数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出fn=
，及其单调性，通过对ai分类讨论即可得出结论．
（2）通过已知条件先探究数列{bn}是一个以6为周期的循环数列，进而即可证明数列{cn}为常数列．
（3）由条件探索出：数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出fn=
| an |
| n |
解答：解：（1）当n≥2时，有
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=a1+b1+b2+…+bn-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×
=n2-n，又当n=1时此式也成立．
∴数列{an}的通项为an=n2-n．
（2）∵bn+1+bn-1=bn（n≥2），
∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn，
∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列
又∵b1=1，b2=2，
∴b3=b2-b1=1，b4=b3-b2=-1，b5=b4-b3=-2，b6=b5-b4=-1．
∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1
=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{cn}为常数列．
（3）∵bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2，
∴b3=2，b4=1，b5=
，b6=
，
且对任意的n∈N*，有bn+6=
=
=
=bn，
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5
=b1+b2+b3+b4+b5+b6
=1+2+2+1+
+
=7（n≥0）．
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．
记fn=
，则fk=
=
=
=
+
，
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=
时，对任意的n=6k+i有
=
；
当ai≠
时，fk+1-fk=
-
=(ai-
)(
-
)
=(ai-
)
，
①若ai＞
，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，数列{
}为单调减数列；
②若ai＜
，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，数列{
}为单调增数列；
综上，当ai=
且i∈{1，2，3，4，5，6}时，数列{
}中必有某数重复出现无数次
当i=1时，a1=
符合要求；当i=2时，a2=
=
符合要求，
此时的a1=a2-b1=
；
当i=3时，a3=
=
符合要求，
此时的a2=a3-b2=
，a1=a2-b1=
；
当i=4时，a4=
=
符合要求，
此时的a1=a4-b3-b2-b1=-
；
当i=5时，a5=
=
符合要求，
此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-
；
当i=6时，a6=
=7符合要求，
此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=
；
即当a1∈{
，
，
，-
，-
}时，
数列{
}中必有某数重复出现无数次．
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=a1+b1+b2+…+bn-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×
| (n-1)n |
| 2 |
∴数列{an}的通项为an=n2-n．
（2）∵bn+1+bn-1=bn（n≥2），
∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn，
∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列
又∵b1=1，b2=2，
∴b3=b2-b1=1，b4=b3-b2=-1，b5=b4-b3=-2，b6=b5-b4=-1．
∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1
=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{cn}为常数列．
（3）∵bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2，
∴b3=2，b4=1，b5=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
且对任意的n∈N*，有bn+6=
| bn+5 |
| bn+4 |
| 1 |
| bn+3 |
| bn+1 |
| bn+2 |
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5
=b1+b2+b3+b4+b5+b6
=1+2+2+1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．
记fn=
| an |
| n |
| a6k+i |
| 6k+i |
| ai+7 |
| i+6k |
| ||||
| i+6k |
| 7 |
| 6 |
ai-
| ||
| i+6k |
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=
| 7i |
| 6 |
| ai |
| n |
| 7 |
| 6 |
当ai≠
| 7i |
| 6 |
ai-
| ||
| 6(k+1)+i |
ai-
| ||
| 6k+i |
=(ai-
| 7i |
| 6 |
| 1 |
| 6(k+1)+i |
| 1 |
| 6k+i |
=(ai-
| 7i |
| 6 |
| -6 |
| [6(k+1)+i](6k+i) |
①若ai＞
| 7i |
| 6 |
| a6k+i |
| 6k+i |
②若ai＜
| 7i |
| 6 |
| a6k+i |
| 6k+i |
综上，当ai=
| 7i |
| 6 |
| an |
| n |
当i=1时，a1=
| 7 |
| 6 |
| 7×2 |
| 6 |
| 7 |
| 3 |
此时的a1=a2-b1=
| 4 |
| 3 |
当i=3时，a3=
| 7×3 |
| 6 |
| 7 |
| 2 |
此时的a2=a3-b2=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当i=4时，a4=
| 7×4 |
| 6 |
| 14 |
| 3 |
此时的a1=a4-b3-b2-b1=-
| 1 |
| 3 |
当i=5时，a5=
| 7×5 |
| 6 |
| 35 |
| 6 |
此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-
| 1 |
| 6 |
当i=6时，a6=
| 7×6 |
| 6 |
此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=
| 1 |
| 2 |
即当a1∈{
| 7 |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
数列{
| an |
| n |
点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“累加求和”、探究数列{bn}是一个以6为周期的循环数列、数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出fn=
并探究其单调性是解题的关键．注意分类讨论思想方法的运用，本题较好的考查了学生的探究能力和计算能力，本题有一点的难度．
| an |
| n |
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