6.物块与平板间的相对滑动

[例8]如图所示,一质量为M的平板车B放在光滑水平面上,在其右端放一质量为m的小木块AmM,A、B间动摩擦因数为μ,现给AB以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动,B开始向右运动,最后A不会滑离B,求:

(1)A、B最后的速度大小和方向;

(2)从地面上看,小木块向左运动到离出发点最远处时,平板车向右运动的位移大小。

解析:(1)由A、B系统动量守恒定律得:

Mv0-mv0=(M+m)v  

所以v=v0

方向向右

(2)A向左运动速度减为零时,到达最远处,此时板车移动位移为s,速度为v′,则由动量守恒定律得:Mv0-mv0=Mv′               ①

对板车应用动能定理得:

-μmgs=mv2-mv02                   

联立①②解得:s=v02

[例9]两块厚度相同的木块AB,紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为,它们的下底面光滑,上表面粗糙;另有一质量的滑块C(可视为质点),以的速度恰好水平地滑到A的上表面,如图所示,由于摩擦,滑块最后停在木块B上,BC的共同速度为3.0m/s,求:

(1)木块A的最终速度; (2)滑块C离开A时的速度

 解析:这是一个由ABC三个物体组成的系统,以这系统为研究对象,当CAB上滑动时,ABC三个物体间存在相互作用,但在水平方向不存在其他外力作用,因此系统的动量守恒。

(1)当C滑上A后,由于有摩擦力作用,将带动AB一起运动,直至C滑上B后,A、B两木块分离,分离时木块A的速度为。最后C相对静止在B上,与B以共同速度运动,由动量守恒定律有

(2)为计算,我们以BC为系统,C滑上B后与A分离,CB系统水平方向动量守恒。C离开A时的速度为BA的速度同为,由动量守恒定律有

 

3.反冲问题

在某些情况下,原来系统内物体具有相同的速度,发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大,有其它能向动能转化。可以把这类问题统称为反冲。

[例4] 质量为m的人站在质量为M,长为L的静止小船的右端,小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时,船左端离岸多远?

解析:先画出示意图。人、船系统动量守恒,总动量始终为零,所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看出,人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小分别为l1l2,则:

mv1=Mv2,两边同乘时间tml1=Ml2,而l1+l2=L

点评:应该注意到:此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论是匀速行走还是变速行走,甚至往返行走,只要人最终到达船的左端,那么结论都是相同的。

做这类题目,首先要画好示意图,要特别注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系。

以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果发生相互作用前系统就具有一定的动量,那就不能再用m1v1=m2v2这种形式列方程,而要利用(m1+m2)v0= m1v1+ m2v2列式。

[例5] 总质量为M的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v0,速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后,火箭本身的速度变为多大?

解析:火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m,以v0方向为正方向,

2.子弹打木块类问题

子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型,它的特点是:子弹以水平速度射向原来静止的木块,并留在木块中跟木块共同运动。

[例3] 设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块,并留在木块中不再射出,子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

解析:子弹和木块最后共同运动,相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看,子弹射入木块过程中系统动量守恒:

   

从能量的角度看,该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f,设子弹、木块的位移大小分别为s1s2,如图所示,显然有s1-s2=d

对子弹用动能定理:        ……①

对木块用动能定理:          ……②

①、②相减得: ……③

点评:这个式子的物理意义是:fžd恰好等于系统动能的损失;根据能量守恒定律,系统动能的损失应该等于系统内能的增加;可见,即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能),等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由于摩擦力是耗散力,摩擦生热跟路径有关,所以这里应该用路程,而不是用位移)。

,则s2<<d。木块的位移很小。但这种运动物体与静止物体相互作用,最后共同运动的类型,全过程动能的损失量均可用公式:…④

当子弹速度很大时,可能射穿木块,这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等,但穿透过程中系统动量仍然守恒,系统动能损失仍然是ΔEK= f žd(这里的d为木块的厚度),但由于末状态子弹和木块速度不相等,所以不能再用④式计算ΔEK的大小。

1.碰撞

两个物体作用时间极短,满足内力远大于外力,可以认为动量守恒。

碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。

如:光滑水平面上,质量为m1的物体A以速度v1向质量为m­2的静止物体B运动,B的左端连有轻弹簧。

分析:在Ⅰ位置AB刚好接触,弹簧开始被压缩,A开始减速,B开始加速;到Ⅱ位置AB速度刚好相等(设为v),弹簧被压缩到最短;再往后AB远离,到Ⅲ位位置恰好分开。

(1)弹簧是完全弹性的。压缩过程系统动能减少全部转化为弹性势能,Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大;分开过程弹性势能减少全部转化为动能;因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明AB的最终速度分别为:。(这个结论最好背下来,以后经常要用到。)

(2)弹簧不是完全弹性的。压缩过程系统动能减少,一部分转化为弹性势能,一部分转化为内能,Ⅱ状态弹性势能仍最大,但比损失的动能小;分离过程弹性势能减少,部分转化为动能,部分转化为内能;因为全过程系统动能有损失。

(3)弹簧完全没有弹性。压缩过程系统动能减少全部转化为内能,Ⅱ状态没有弹性势能;由于没有弹性,AB不再分开,而是共同运动,不再有分离过程。可以证明,AB最终的共同速度为。在完全非弹性碰撞过程中,系统的动能损失最大,为:

(这个结论最好背下来,以后经常要用到。)

[例1] 质量为M的楔形物块上有圆弧轨道,静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦,圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v

解析:系统水平方向动量守恒,全过程机械能也守恒。

在小球上升过程中,由水平方向系统动量守恒得:

由系统机械能守恒得:   解得

全过程系统水平动量守恒,机械能守恒,得

点评:本题和上面分析的弹性碰撞基本相同,唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。

[例2] 动量分别为5kgžm/s和6kgžm/s的小球AB沿光滑平面上的同一条直线同向运动,A追上B并发生碰撞后。若已知碰撞后A的动量减小了2kgžm/s,而方向不变,那么AB质量之比的可能范围是什么?

解析:A能追上B,说明碰前vA>vB,∴;碰后A的速度不大于B的速度, ;又因为碰撞过程系统动能不会增加, ,由以上不等式组解得:

点评:此类碰撞问题要考虑三个因素:①碰撞中系统动量守恒;②碰撞过程中系统动能不增加;③碰前、碰后两个物体的位置关系(不穿越)和速度大小应保证其顺序合理。

 0  159950  159958  159964  159968  159974  159976  159980  159986  159988  159994  160000  160004  160006  160010  160016  160018  160024  160028  160030  160034  160036  160040  160042  160044  160045  160046  160048  160049  160050  160052  160054  160058  160060  160064  160066  160070  160076  160078  160084  160088  160090  160094  160100  160106  160108  160114  160118  160120  160126  160130  160136  160144  447348 

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