摘要：21． (Ⅰ)解:当a=1时.. 因为f(-1)=b+2>b. 所以.函数f (x)的图象不能总在直线y=b的下方． 4分 (Ⅱ)解:由题意.得f '(x)=-3x2+2ax. 令f′(x)=0.解得x=0或x=a. 5分 当a<0时.由f′(x)>0.解得a<x<0. 所以f (x)在(a.0)上是增函数.与题意不符.舍去, 当a=0时.由f′(x)=-3x2≤0.与题意不符.舍去, 6分 当a>0时.由f' (x)>0.解得0<x<a. 所以f (x)在(0.a)上是增函数. 又f (x)在(0.2)上是增函数. 所以a≥2.解得a≥3. 综上.a的取值范围为[3.+∞)． 9分 (Ⅲ)解:因为方程f (x)=-x3+ax2+b=0最多只有3个根.由题意.在区间内仅有一根. 所以f (-1)·f (0)=b(1+a+b)<0. ① 同理f (0)·f (1)=b(-1+a+b)<0. ② 11分 当b>0时.由①得1+a+b<0.即a<-b-1. 由②得-1+a+b<0.即a<-b+1. 因为-b-1<- b +1.所以a<- b -1<-1.即a<-1, 当b <0时. 由①得1+a+ b >0.即a>- b -1. 由②得-1+a+ b >0.即a >- b +1. 因为- b -1<- b +1.所以a >- b +1>1. 即a >1, 当b =0时.因为f(0)=0.所以f(x)=0有一根0.这与题意不符． 综上.│a│>1． 14分 注:在第(Ⅲ)问中.得到①②后.可以在坐标平面aOb内.用线性规划方法解．请相应评分．

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