Question

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都与以点A（

2

，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点是（0，

2

），求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：先根据双曲线的顶点坐标确定焦点在y轴上，进而可确定a的值，然后设出双曲线的方程，根据其渐近线与以点A（

2

，0）为圆心，1为半径的圆相切可得到点A（

2

，0）到渐近线的距离等于1，进而可求出b的值，确定答案．

解答：解：∵双曲线的一个顶点是（0，

2

），
∴双曲线的焦点在y轴上，且a=

2

故，双曲线方程可设为：

y2

2

-

x2

b2

=1，且渐近线为

2

x±by=0
又∵

| 2 ×  2 +0|

( 2 )2+b2

=1∴b²=2
故双曲线方程为：y²-x²=2

点评：本题主要考查双曲线的简单性质．考查对基础知识的掌握程度，属于基础题．