摘要： 已知函数对于.都有 (1)求证:是奇函数, (2)若.用表示. 例4:已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程, (2)设.如果过点可作曲线的三条切线.证明: 解:(1)的导数．曲线在点处的切线方程为:.即． (2)如果有一条切线过点.则存在.使． 若过点可作曲线的三条切线.则方程有三个相异的实数根．记.则． 当变化时.变化情况如下表: 0 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 由的单调性.当极大值或极小值时.方程最多有一个实数根, 当时.解方程得.即方程只有两个相异的实数根, 当时.解方程得.即方程只有两个相异的实数根． 综上.如果过可作曲线三条切线.即有三个相异的实数根.则即 ． 例5:设函数.其中． (Ⅰ)当时.判断函数在定义域上的单调性, (Ⅱ)求函数的极值点, (Ⅲ)证明对任意的正整数.不等式都成立． 解(I) 函数的定义域为. . 令.则在上递增.在上递减. .当时.. 在上恒成立. 即当时,函数在定义域上单调递增. (II)分以下几种情形讨论:知当时函数无极值点. (2)当时..时. 时.时.函数在上无极值点. (3)当时.解得两个不同解.. 当时... 此时在上有唯一的极小值点. 当时. 在都大于0 .在上小于0 . 此时有一个极大值点和一个极小值点. 综上可知.时.在上有唯一的极小值点, 时.有一个极大值点和一个极小值点, 时.函数在上无极值点. (III) 当时. 令则在上恒正. 在上单调递增.当时.恒有. 即当时.有. 对任意正整数.取得 单元练习

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