Question

已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，，若.

（1）求证：为奇函数；

（2）求证:是上的减函数；

（3）求函数在区间上的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：见解析；

（2）证明：见解析；（3）函数在区间上的值域为.

【解析】（1）赋值求出，即证出为奇函数；（2）利用函数单调性定义和奇函数证出是上的减函数；（3）由（2）得函数在区间上的最大值是；最小值是.

(1)证明：的定义域为,令,则， 令,则，即.

，故为奇函数.     4分

（2）证明：任取且,

则 

又，，，

即.

故是上的减函数.        8分

（3）解:

又为奇函数,

由(2)知是上的减函数,

所以当时，取得最大值，最大值为；

当时，取得最小值，最小值为. 11分

所以函数在区间上的值域为.      12分