已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2n

，设b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（a_n）的表达式；
（3）是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

（2013•乐山二模）已知f(x)=-

4+ 1 x2

，点Pn(an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求证：数列{

1

a 2 n

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

a

2 n

•

a

2 n+1

}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，存在正整数t，使得Sn＜t2-t-

1

2

恒成立，求最小正整数t的值．

（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）．又数列{a_n}满足，a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=-

1

2f(an)

，T_n为数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

已知曲线C：y²=2x（y≥0），A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n），…是曲线C上的点，且满足0＜x₁＜x₂＜…＜x_n＜…，一列点B_i（a_i，0）（i=1，2，…）在x轴上，且△B_i-1A_iB_i（B₀是坐标原点）是以A_i为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求A₁、B₁的坐标；
（Ⅱ）求数列{y_n}的通项公式；
（Ⅲ）令bi=

4

ai

，ci=(

2

)-yi，是否存在正整数N，当n≥N时，都有

n

i=1

bi＜

n

i=1

ci，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由．