Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2n

，设b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（a_n）的表达式；
（3）是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（2）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，由(1)知f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2n

)=f(

an+an

1+an•an

)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即

f(an+1)

f(an)

=2
∴{f（a_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f（a_n）=-2^n-1．（7分）
（3）∵bn=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

．
若bn＜

m-8

4

恒成立（n∈N₊），则-2+

1

2n-1

＜

m

4

-2，即m＞

4

2n-1

．
∵n∈N₊，∴当n=1时，

4

2n-1

有最大值4，故m＞4．
又∵m∈N，∴存在m=5，使得对任意n∈N₊，有bn＜

m-8

4

．（14分）