摘要：20． 设分别为椭圆的左.右顶点.椭圆长半轴的长等于焦距.且为它的右准线. (Ⅰ).求椭圆的方程, (Ⅱ).设为右准线上不同于点(4.0)的任意一点.若直线分别与椭圆相交于异于的点.证明点在以为直径的圆内. (此题不要求在答题卡上画图) 点评:本小题主要考查直线.圆和椭圆等平面解析几何的基础知识.考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解:(Ⅰ)依题意得 a＝2c.＝4.解得a＝2.c＝1.从而b＝. 故椭圆的方程为 . 得A.设M(x0.y0). ∵M点在椭圆上.∴y0＝(4-x02). 1 又点M异于顶点A.B.∴-2<x0<2.由P.A.M三点共线可以得 P(4.). 从而＝(x0-2.y0). ＝(2.). ∴·＝2x0-4+＝(x02-4+3y02). 2 将1代入2.化简得·＝(2-x0). ∵2-x0>0.∴·>0.则∠MBP为锐角.从而∠MBN为钝角. 故点B在以MN为直径的圆内. 解法2:由.设M(x1.y1).N(x2.y2). 则-2<x1<2.-2<x2<2.又MN的中点Q的坐标为(.). 依题意.计算点B到圆心Q的距离与半径的差 -＝(-2)2+()2-[(x1-x2)2+(y1-y2)2] ＝(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 又直线AP的方程为y＝.直线BP的方程为y＝. 而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上. ∴.即y2＝ 4 又点M在椭圆上.则.即 5 于是将4.5代入3.化简后可得-＝. 从而.点B在以MN为直径的圆内.

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