摘要:(本小题满分14分.第一小问满分3分.第二小问满分5分.第三小问满分6分) 在五棱锥P-ABCDE中.PA=AB=AE=2a.PB=PE=a.BC=DE=a.∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°. (1)求证:PA⊥平面ABCDE, (2)求二面角A-PD-E的大小, (3)求点C到平面PDE的距离. 解:(1)证明∵PA=AB=2a.PB=2a,∴PA2+AB2=PB2.∴∠PAB=90°.即PA⊥AB. 同理PA⊥AE.3分∵AB∩AE=A.∴PA⊥平面ABCDE. ----- 3分 (2)∵∠AED=90°.∴AE⊥ED. ∵PA⊥平面ABCDE.∴PA⊥ED. ∴ED⊥平面PAE.过A作AG⊥PE于G. ∴DE⊥AG.∴AG⊥平面PDE. 过G作GH⊥PD于H.连AH. 由三垂线定理得AH⊥PD. ∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角. ---- 6分 在直角△PAE中.AG=a.在直角△PAD中.AH=a. ∴在直角△AHG中.sin∠AHG==.∴∠AHG=arcsin. ∴二面角A-PD-E的大小为arcsin. ----- 8分 (3)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中点F.连CF. ∵AF∥=BC, ∴四边形ABCF为平行四边形. ∴CF∥AB.而AB∥DE. ∴CF∥DE.而DE平面PDE.CF平面PDE. ∴CF∥平面PDE. ∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离. -----10分 ∵PA⊥平面ABCDE. ∴PA⊥DE. 又∵DE⊥AE.∴DE⊥平面PAE. ∴平面PAE⊥平面PDE. ∴过F作FG⊥PE于G.则FG⊥平面PDE. ∴FG的长即F点到平面PDE的距离. -----12分 在△PAE中.PA=AE=2a.F为AE中点.FG⊥PE. ∴FG=a. ∴点C到平面PDE的距离为a. ----- 14分

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