摘要：如图.在矩形ABCD中.AB＝.BC＝a.又PA⊥平面ABCD.PA＝4． (1)若在边BC上存在一点Q.使PQ⊥QD.求a的取值范围, (2)当BC上存在唯一点Q.使PQ⊥QD时.求异面直线AQ与PD所成角的大小, (3)若a＝4.且PQ⊥QD.求二面角A-PD-Q的大小． 解: (1).以为x.y.z轴建立空间直角坐标系.则 B(0..0).C(-a..0).D(-a.0.0).P 设Q(t..0).则 ＝(t..-4).＝(t+a..0) ∵PQ⊥QD.∴＝0 即t2+at+3＝0 ① ∴△＝a2-12≥0 Þ a≥2． (2).∵BC上存在唯一点Q.使PQ⊥QD. ∴△＝a2-12＝0 Þ a＝2.t＝- ＝(-..0) .＝(-2.0.-4) ∴cos 故异面直线AQ与PD所成角为arccos． (3).过Q作QM∥CD交AD于M.则QM⊥AD.M ∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥QM.又QM⊥AD.∴QM⊥平面PAD 过M作MN⊥PD于N.连结NQ.由三垂线定理知QN⊥PD ∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角 设N .则＝.＝(t-m..-n) ＝ ∵MN⊥PD.ND.PD共线.∴ 得:m+n-t＝0.m-n＝4 ② 由①得:t＝-1或t＝-3.由②得:n＝2+t 当t＝-1时..当t＝-3时. ∴二面角A-PD-Q的大小为或．

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