已知直线l：y=x+

6

，圆O：x²+y²=5，椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

3

，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．

（理）斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量

a

=(-p，0)平移得直线m，N是m上的动点，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）设C（p，0），D为抛物线y²=2px（p＞0）上一动点，是否存在直线l，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

如图，椭圆C₁与椭圆C₂中心在原点，焦点均在x轴上，且离心率相同．椭圆C₁的长轴长为2

2

，且椭圆C₁的左准线l：x=-2被椭圆C₂截得的线段ST长为2

3

，已知点P是椭圆C₂上的一个动点．
（1）求椭圆C₁与椭圆C₂的方程；
（2）设点A₁为椭圆C₁的左顶点，点B₁为椭圆C₁的下顶点，若直线OP刚好平分A₁B₁，求点P的坐标；
（3）若点M，N在椭圆C₁上，点P，M，N满足

OP

=

OM

+2

ON

，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂．
（1）证明：k₁+k₂=0；
（2）当a=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．