Question

已知直线l：y=x+

6

，圆O：x²+y²=5，椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

3

，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d=

6

2

=

3

，
∴直线l被圆O截得的弦长为2

( 5 )2-( 3 )2

=2

5-3

=2

2

，
由2b=2

2

，解得b=

2

，
∵椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

3

，
∴

c

a

=

3

3

∴

a2-2

a2

=

1

3

，解得a²=3
∴椭圆E的方程为

y2

3

+

x2

2

=1；
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀），过点P的椭圆E的切线l₀的方程为y-y₀=k（x-x₀）
与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（kx₀-y₀）²-6=0
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（kx₀-y₀）²-6]=0
∴（2-x02）k²+2kx₀y₀-（y02-3）=0
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k₁，k₂，
∴k₁k₂=-

y02-3

2-x02

∵P在圆O上，∴x02+y02=5，
∴k₁k₂=-

y02-3

2-x02

=-1
∴两切线斜率之积为定值-1．