摘要：如图.矩形ABCD中.AB=6.BC=2.点O是AB的中点.点P在AB的延长线上.且BP=3．一动点E从O点出发.以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动.到达A点后.立即以原速度沿AO返回,另一动点F从P点发发.以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动.点E.F同时出发.当两点相遇时停止运动.在点E.F的运动过程中.以EF为边作等边△EFG.使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒． (1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时.求运动时间t的值, (2)在整个运动过程中.设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S.请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围, (3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H.是否存在这样的t.使△AOH是等腰三角形?若存大.求出对应的t的值,若不存在.请说明理由． 考点:相似三角形的判定与性质,根据实际问题列二次函数关系式,等腰三角形的性质,等边三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形. 专题:代数几何综合题,动点型,分类讨论. 分析:(1)当边FG恰好经过点C时.∠CFB=60°.BF=3﹣t.在Rt△CBF中.解直角三角形可求t的值, (2)按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点.分为0≤t＜1.1≤t＜3.3≤t＜4.4≤t＜6四种情况.分别写出函数关系式, (3)存在．当△AOH是等腰三角形时.分为AH=AO=3.HA=HO.OH=OA三种情况.分别画出图形.根据特殊三角形的性质.列方程求t的值． 解答:解:(1)当边FG恰好经过点C时.∠CFB=60°.BF=3﹣t.在Rt△CBF中.BC=2.tan∠CFB=.即tan60=.解得BF=2.即3﹣t=2.t=1.∴当边FG恰好经过点C时.t=1, (2)当0≤t＜1时.S=2t+4, 当1≤t＜3时.S=﹣t2+3t+, 当3≤t＜4时.S=﹣4t+20, 当4≤t＜6时.S=t2﹣12t+36, (3)存在． 理由如下:在Rt△ABC中.tan∠CAB==. ∴∠CAB=30°.又∵∠HEO=60°.∴∠HAE=∠AHE=30°. ∴AE=HE=3﹣t或t﹣3. 1)当AH=AO=3时..过点E作EM⊥AH于M.则AM=AH=. 在Rt△AME中.cos∠MAE═.即cos30°=. ∴AE=.即3﹣t=或t﹣3=. ∴t=3﹣或t=3+. 2)当HA=HO时.则∠HOA=∠HAO=30°. 又∵∠HEO=60°.∴∠EHO=90°.EO=2HE=2AE. 又∵AE+EO=3.∴AE+2AE=3.AE=1. 即3﹣t=1或t﹣3=1.∴t=2或t=4, 3)当OH=OA时..则∠OHA=∠OAH=30°. ∴∠HOB=60°=∠HEB.∴点E和点O重合. ∴AE=3.即3﹣t=3或t﹣3=3.t=6或t=0, 综上所述.存在5个这样的t值.使△AOH是等腰三角形.即t=3﹣或t=3+或t=2或t=2或t=0． 点评:本题考查了特殊三角形.矩形的性质.相似三角形的判定与性质.解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质.分类讨论．

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