绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

(理工农医类)

一.选择题:本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分,满分60分。

1.复数=为实数,∴,选D.

试题详情

2.在等差数列中,已知∴ d=3,a5=14,=3a5=42,选B.

试题详情

3.已知则,=,选A.

试题详情

4.全集且

  ∴ =,选C.

试题详情

5.正方体外接球的体积是,则外接球的半径R=2,正方体的对角线的长为4,棱长等于,选D.

试题详情

6.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球,至少摸到2个黑球的概率等于=,选A。

试题详情

7.对于平面和共面的直线、真命题是“若则”,选C.

试题详情

8.对于x>1,函数>0,解得,=,∴ 原函数的反函数是,选A.

试题详情

9.函数在区间上的最小值是,则ωx的取值范围是,

  ∴ 或,∴ 的最小值等于,选B.

试题详情

10.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴ ≥,离心率e2=,∴ e≥2,选C

试题详情

11.已知点C在AB上,且。   设A点坐标为(1,0),B点的坐标为(0,),C点的坐标为(x,y)=(,),,则∴ m=,n=,=3,选B.

试题详情

12.对于直角坐标平面内的任意两点,定义它们之间的一种“距离”:            ①若点C在线段AB上,设C点坐标为(x0,y0),x0在x1、x2之间,y0在y1、y2之间,则=

③在中,

>

= ∴命题① ③成立,而命题②在中,若则明显不成立,选B.

 

       (13)10   (14)   (15)   (16)

试题详情

二.填空题:本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。

13.展开式中,项为,该项的系数是10.

试题详情

14.已知直线与抛物线相切,将y=x-1代入抛物线方程得,∴ ,a=。

试题详情

15.一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次,向上的数之积可能为ξ=0,1,2,4,则,,,,

∴ .

试题详情

16.如图,连结的各边中点得到一个新的又连结的各边中点得到,如此无限继续下去,得到一系列三角形:,,,,这一系列三角形趋向于一个点M。已知则点M的坐标是的重心,∴ M=

(17)本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识,以及推理和运算能力。满分12分。

       解:(I)

         

       的最小正周期

       由题意得

       即 

       的单调增区间为

       (II)方法一:

       先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,就得到的图象。

       方法二:

       把图象上所有的点按向量平移,就得到的图象。

(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。

       方法一:

       (I)证明:连结OC

      

      

       在中,由已知可得

       而           即

              平面

       (II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知

       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

       在中,

      

       是直角斜边AC上的中线,  

       异面直线AB与CD所成角的大小为

       (III)解:设点E到平面ACD的距离为

              在中,

              而

          点E到平面ACD的距离为

       方法二:

       (I)同方法一。

       (II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则

      

      

       异面直线AB与CD所成角的大小为

       (III)解:设平面ACD的法向量为则     

      

       令得是平面ACD的一个法向量。

       又 点E到平面ACD的距离

      

(19)本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。

       解:(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,

       要耗没(升)。

试题详情

三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

       答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。

       (II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,

       依题意得

      

       令得

       当时,是减函数;

       当时,是增函数。

       当时,取到极小值

       因为在上只有一个极值,所以它是最小值。

试题详情

       答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。

(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。满分12分。

       解:(I)

       圆过点O、F,

       圆心M在直线上。

       设则圆半径

      

       由得

       解得

       所求圆的方程为

       (II)设直线AB的方程为

       代入整理得

       直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。

       记中点

       则

       的垂直平分线NG的方程为

       令得

      

       点G横坐标的取值范围为

(21)本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质

的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。

       解:(I)

       当即时,在上单调递增,

      

       当即时,

       当时,在上单调递减,

             

              综上,

       (II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,即函数

       的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

      

       当时,是增函数;

       当时,是减函数;

       当时,是增函数;

       当或时,

      

       当充分接近0时,当充分大时,

       要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须

         即

       所以存在实数,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,的取值范围为

(22)本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。满分14分。

       (I)解:

      

       是以为首项,2为公比的等比数列。

      

       即 

       (II)证法一:

      

                    ①

             ②

       ②-①,得

       即

             

     ③-④,得 

       即 

      

       是等差数列。

       证法二:同证法一,得

        

       令得

       设下面用数学归纳法证明 

       (1)当时,等式成立。

       (2)假设当时,那么

      

       这就是说,当时,等式也成立。

       根据(1)和(2),可知对任何都成立。

       是等差数列。

       (III)证明:

      

      

      

      

 

 

试题详情