绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
(理工农医类)
一.选择题:本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分,满分60分。
1.复数=为实数,∴,选D.
2.在等差数列中,已知∴ d=3,a5=14,=3a5=42,选B.
3.已知则,=,选A.
4.全集且
∴ =,选C.
5.正方体外接球的体积是,则外接球的半径R=2,正方体的对角线的长为4,棱长等于,选D.
6.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球,至少摸到2个黑球的概率等于=,选A。
7.对于平面和共面的直线、真命题是“若则”,选C.
8.对于x>1,函数>0,解得,=,∴ 原函数的反函数是,选A.
9.函数在区间上的最小值是,则ωx的取值范围是,
∴ 或,∴ 的最小值等于,选B.
10.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴ ≥,离心率e2=,∴ e≥2,选C
11.已知点C在AB上,且。 设A点坐标为(1,0),B点的坐标为(0,),C点的坐标为(x,y)=(,),,则∴ m=,n=,=3,选B.
12.对于直角坐标平面内的任意两点,定义它们之间的一种“距离”: ①若点C在线段AB上,设C点坐标为(x0,y0),x0在x1、x2之间,y0在y1、y2之间,则=
③在中,
>
= ∴命题① ③成立,而命题②在中,若则明显不成立,选B.
(13)10 (14) (15) (16)
二.填空题:本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。
13.展开式中,项为,该项的系数是10.
14.已知直线与抛物线相切,将y=x-1代入抛物线方程得,∴ ,a=。
15.一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次,向上的数之积可能为ξ=0,1,2,4,则,,,,
∴ .
16.如图,连结的各边中点得到一个新的又连结的各边中点得到,如此无限继续下去,得到一系列三角形:,,,,这一系列三角形趋向于一个点M。已知则点M的坐标是的重心,∴ M=
(17)本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识,以及推理和运算能力。满分12分。
解:(I)
的最小正周期
由题意得
即
的单调增区间为
(II)方法一:
先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,就得到的图象。
方法二:
把图象上所有的点按向量平移,就得到的图象。
(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。
方法一:
(I)证明:连结OC
在中,由已知可得
而 即
平面
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中,
是直角斜边AC上的中线,
异面直线AB与CD所成角的大小为
(III)解:设点E到平面ACD的距离为
在中,
而
点E到平面ACD的距离为
方法二:
(I)同方法一。
(II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则
异面直线AB与CD所成角的大小为
(III)解:设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。
又 点E到平面ACD的距离
(19)本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。
解:(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗没(升)。
三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,
依题意得
令得
当时,是减函数;
当时,是增函数。
当时,取到极小值
因为在上只有一个极值,所以它是最小值。
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。
(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。满分12分。
解:(I)
圆过点O、F,
圆心M在直线上。
设则圆半径
由得
解得
所求圆的方程为
(II)设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。
记中点
则
的垂直平分线NG的方程为
令得
点G横坐标的取值范围为
(21)本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质
的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。
解:(I)
当即时,在上单调递增,
当即时,
当时,在上单调递减,
综上,
(II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,即函数
的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
当时,是增函数;
当时,是减函数;
当时,是增函数;
当或时,
当充分接近0时,当充分大时,
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
即
所以存在实数,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,的取值范围为
(22)本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。满分14分。
(I)解:
是以为首项,2为公比的等比数列。
即
(II)证法一:
①
②
②-①,得
即
③-④,得
即
是等差数列。
证法二:同证法一,得
令得
设下面用数学归纳法证明
(1)当时,等式成立。
(2)假设当时,那么
这就是说,当时,等式也成立。
根据(1)和(2),可知对任何都成立。
是等差数列。
(III)证明: