3.1 数列的概念
〖考试要求〗
理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，能熟练应用关系式：
.
〖双基回顾〗
1、数列：
⑴定义： ；或者 .
⑵表示方法： ；或者 ；或者 .
2、数列的分类：
⑴按项数的多少分：
①有穷数列――
②无穷数列――
⑵按相邻项间的大小关系分：
①递增数列―― ②递减数列――
③常数数列―― ④摆动数列――
3、设数列{an}的前n项和为Sn=a1＋a2＋…＋an，则当 时，an＝Sn?Sn?1.
〖知识点训练〗
1、根据已知条件写出下列数列的前5项：
⑴Sn＝n2＋1；
⑵a1＝1，an＋1＝an＋
；
⑶a1＝1，a
2、数列{an}中，an=n2－7n＋6，那么150是其第 项.
3、已知an＋2＝an＋1＋an，a1＝1，a2＝2，bn＝
，则数列{bn}的前4项依次为
.
〖典型例题分析〗
1、根据已知条件写出下列数列的一个通项公式：
⑴2
，4
，6
，8
，…，an＝
；
⑵1
，4
，7
，10
，…，an＝
；
⑶1，
，2，
，…，an＝
；
2、已知数列{an}的通项公式为an＝
⑴0.98是不是它的项？ ⑵判断此数列的单调性.
3、设数列{an}中，Sn=－4n2＋25n＋1
(1)求通项公式； (2)求a10＋a11＋a12＋…＋a20的值； (3)求Sn最大时an的值.
*4、在数列{an}中，其前n项和Sn＝
.试问数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.
〖课堂小结〗
1、求数列的通项公式的常用方法有：观察法、递推法、叠加(乘)法、归纳法.
2、由Sn求an时要注意分n＝1和n＞1两种情况.
3、判定数列{an}的单调性考查的是an＋1与an的大小关系.
〖课堂练习〗
1、数列{an}中，Sn=nn，那么a4=……………………………………………………………………（ ）
（A）256 （B）229 （C）27 （D）7
2、数列{an}中，an=
，如果它的前n项之和为3，那么n=………………………（ ）
（A）16 （B）15 （C）8 （D）3
3、数列1，0，1，0，1，0，……的一个通项公式为 ；
数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，……的一个通项公式为 ；
4、数列{an}中，a1=1，
，那么它的前4项为 .
〖能力测试〗 姓名 得分
1、数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式是…………………………………………………（ ）
（A）an＝4n－1 （B）an＝ n2＋n＋1 （C）an＝2＋n－n2＋n （D）an＝n(n＋1)(n－1)
2、若数列的前四项为2，0，2，0，则这个数列的通项公式不能是……………………………………（ ）
（A）an＝1＋(－1)n－1 （B）an＝1－cosnp
（C）an＝2sin2
（D）an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
3、以下通项公式中，不是2，4，8，…通项公式的是………………………………………………（ ）
（A）an=2n
(B)an=n2－n＋2 （C）an=2n
（D）
4、已知a0＝1，a1＝3，
?an－1an＋1＝(－1)n (n∈N)，则a3＝……………………………………（ ）
（A）33 （B）21 （C）17 （D）10
5、数列
中，有序数对(a，b)可以是……………………………………（ ）
（A）(21，－1) （B）(16，－1) （C）(－
，
) （D）(，－)
6、若数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋3，则此数列的前三项依次是………………………………（ ）
（A）－1，1，3 （B）2，1，3 （C）6，1，3 （D）2，1，6
7、已知a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝ .
8、数列{2+log2
}的第10项是
.
9、已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则其通项公式为 .
10、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：
⑴Sn＝5n2＋3n； ⑵Sn＝
－2；
11、数列{an}的前n项的和为Sn=n2＋pn，数列{bn}的前n项的和为
n=3n2－2n，
⑴如果a10=b10，求p之值
⑵取{bn}中的奇数项按照原来顺序构成数列{cn}，求cn的表达式.
3.2 等差数列
〖考试要求〗
理解等差数列的概念以及推导等差数列通项公式的方法思想；掌握等差数列和公式并能加以灵活应用.
〖双基回顾〗
1、定义：
2、通项公式：
⑴
⑵
3、前n项之和
：
⑴
⑵
4、数a、b的等差中项：
〖知识点训练〗
1、等差数列－5，－9，－13，…，的第 项是－401；
2、已知{an}为等差数列，若a1＝3，d＝
，an＝21，则n＝ ；
3、已知{an}为等差数列，若a10＝
，d＝
，则a3＝ .
〖典型例题〗
1、判断下列数列是否是等差数列：
⑴an =3n＋5.
⑵an =3n2.
⑶数列{an}满足Sn＝2n2＋3n.
2、在等差数列{an}中，
⑴若a59＝70，a80＝112，求a101.
⑵若ap＝q，aq＝p (p≠q)，求ap＋q.
⑶若a12＝23，a42＝143，an＝263，求n之值.
3、四个数成等差数列，它们的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数.
4、等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0.
⑴求公差d的取值范围；
⑵指出S1、S2、S3、…、S12中哪一个最大，为什么？
5、在数列{an}中，an＝11－2n.
⑴求Sn；
⑵设bn＝|an|，求{bn}的前n项之和Tn.
〖课堂小结〗
1、掌握下列法则：{an}为等差数列
；
2、要灵活应用等差、等比数列的通项公式（即广义通项公式）；
3、三个数成等差可设它们为：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；
四个数成等差(比)可设它们为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
〖能力测试〗
1、已知数列
是等差数列，则使
为等差数列的数列是……………………………………（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2、已知等差数列
中，
，公差d＝2，其中第一个正数项是………………………（ ）
（A）第11项 （B）第12项 （C）第13项 （D）第14项
3、在等差数列{an}中，d≠0，当n＞1时，则a1an＋1与a2an的大小关系是…………………………（ ）
（A）a1an＋1＞a2an （B）a1an＋1＜a2an （C）a1an＋1＝a2an （D）无法确定
4、在100和500之间能被9整除的所有数的和是…………………………………………………（ ）
（A）13266 （B）12699 （C）13832 （D）14500
5、设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
（A）－78 （B）－82 （C）－148 （D）－182
6、等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99等于………………………（ ）
（A）52.5 （B）72.5 （C）60 （D）85
7、在等差数列{an}中，a5＋a10＋a15＋a20＝20，则S24＝ .
8、在两个不等正数a，b之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列{an}，公差为d1，再插入m个数，使它们与a、b组成等差数列{bn}，公差为d2，则
= .
9、已知b是a、c的等差中项，
的等差中项，如果a＋b＋c=33，求此三数.
10、 一项数为偶数的等差数列，奇数项之和为24，偶数项之和为30，若最后一项比第一项大
，求此数列的首项、公差、及项数.
3.3 等比数列
〖考试要求〗
理解等比数列的概念以及推导等比数列通项公式的方法思想；掌握等比数列的和公式并能加以灵活应用.
〖双基回顾〗
1、定义：
2、通项公式：
⑴
⑵
3、前n项和公式：
⑴
⑵
4、数a、b的等比中项及其条件：
〖知识点训练〗
1、在等比数列{an}中a2＝2， a5＝54，则q＝ ；
2、在等比数列{an}中a5＝1， an＝256，q＝2，则n＝ .
3、公差不为0的等差数列第二、三、六项成等比数列，则公比等于 .
4、已知数列lgx＋lgx2＋lgx3＋…＋lgx10＝110，求lgx＋lg2x＋lg3x＋…＋ lg10x＝ .
5、已知
是等比数列，且an＞0,若a
6、方程2x2＋7x＋1=0的两根的等差中项为 ；等比中项为 .
〖典型例题〗
1、在等比数列{an}中，
⑴a
⑵a
*⑶q=2，a
⑷在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20.
⑸已知等比数列{an}的公比是q=，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，求a1＋a2＋a3＋…＋a100.
2、已知数列{an}的前n项和满足
，求此数列的通项公式.
3、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) .
4、已知等比数列{an}的公比q>1，是它的前n项之和，
是它的前n项倒数和，并且
，求满足不等式>的最小自然数.
5、正项等比数列{an}的项数为偶数，它的所有项之和等于它的偶数项和的4倍，第2、4项之积是3、4项和的9倍.⑴求a1及q；⑵问{lgan}的前几项和最大？
〖课堂练习〗在等比数列{an}中，
1、a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝ .
2、在等比数列{an}中，已知a3＝1，S3＝4，求a1、q.
〖课堂小结〗
1、{an}为等比数列
2、要灵活应用等比数列的广义通项公式.
3、三个数成等比可设它们为：a，aq，aq2或a/q，a，aq；
四个数成等比可设它们为： a/q3，a/q，aq，aq3；
4、运用等比数列和公式时，一定得注意q的取值.
〖能力测试〗
1、若a、b、c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是…………………（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）0个或2个
2、下列四个命题：
①公比q＞1的等比数列的各项都大于1；②公比q＜0的等比数列是递减数列；③常数列是公比为1的等比数列； ④{lg2n}是等差数列而不是等比数列
正确的个数是……………………………………………………………………………………（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3、数列{an}的前n项之和为Sn=an－1，那么此数列是……………………………………………（ ）
（A）等比数列 （B）等差数列 （C）等比或等差数列 （D）等比不是等差数列
4、已知数列{an}的通项公式为an＝22n－1，则该数列的前5项的和为……………………………（ ）
（A）62
（B）
（C）
（D）682
5、一个数列{ an }是递增的等比数列，公比是q，则该数列的……………………………………（ ）
（A）q＞1 （B）a1＞0，q＞1
（C）a1＜0，q＜1 （D）a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1
6、一个数列{an}中，a1=15，a45=90，如是等差数列，则a60= ；如是等比数列，则a60= .
7、等比数列中，an＋2＝an，则实数公比q＝ 、an＋3＝an，则实数公比q＝ .
8、三数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1，3，9就成为等比数列，求这三个数.
9、在3和2187之间插入若干个正数，使所有数组成等比数列，且插入的这些正数之和为1089，求插入的这些正数各是多少？
10、如果一个三角形的三边成等比数列，求公比q的取值范围.
3.4 等差等比数列综合应用
〖考试要求〗
掌握运用等差(比)数列中的常用思想方法（定义法、递推法、倒序相加法、错位相减法等）.
〖课前预习〗
1、下列说法正确的是…………………………………………………………………………………（ ）
（A）数列
中，若
，（q为常数，n∈N），则是等比数列
（B）等比数列
中，若m，n，p成等差数列，且m，n，p∈N则
（C）lg2，lgm，lg8是成等差数列，则2，m，8成等比数列且m＝±4
（D）
是a，b，c成等比数列的充要条件
2、数列
的前项n和
则
的值为……………………………………………（ ）
（A）1100 （B）112 （C）988 （D）114
3、等差数列共有2n+1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n＝………………（ ）
（A）9 （B）10 （C）11 （D）不确定
4、数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n－1，则它的通项公式是…………………………………………（ ）
（A）an＝4n－1 （B）an＝4n－2 （C）
（D）
5、在等差数列{an}中，已知a3:a5＝3:4，则S9:S5的值是…………………………………………（ ）
（A）27:20 （B）9:4 （C）3:4 （D）12:5
6、在等比数列{ an }中，an ＝2´3 n－1，则该数列中前n个偶数项的和等于…………………………（ ）
（A）3 n－1 （B）3(3 n－1) （C）(9 n－1) （D）
(9 n－1)
7、若
，
，
成等差数列，则x的值为 .
8、
.
〖典型例题〗
1、一个数列{an}中，当n为奇数时，an=5n+1，当n是偶数时，an=
，求此数列的前2n项之和.
2、方程
=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|=…（ ）
(A)1
(B) (C) (D)
3、数列{an}满足：
，并且a1≠a2.⑴求实数p之值；⑵求证{an}是A.P
4、已知数列
是等差数列，
⑴求证：数列
也是等差数列；
⑵若
，求这两个数列、
的通项公式.
5、设{an}是等差数列，bn＝
，已知b1＋b2＋b3＝
，b1b2b3＝，
⑴求证：数列{bn}是等比数列； ⑵求等差数列{an}的通项an.
6、若两个等差数列{an}与{bn}的前n项和之比为Sn:S¢n＝(4n＋1):(9n＋3)，求a20:b20.
7、数列{an}、{bn}分别是等比数列、等差数列，满足ai＞0，bj＞0，b2-b1＞0，是否存在常数k，使：
是常数？
〖能力测试〗
1、若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于……………………（ ）
（A）1或2 （B）1或－2 （C）－1或2 （D）－1或－2
2、若等差数列{an}单调递增，且a3＋a6＋a9＝12，a
（A）n－2 （B）－n＋16 （C）n－2 或－n＋16 （D）n－2
3、等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则
等于（ ）
（A）(2n－1)2
（B）(2n－1) （C）4n－1
（D）(4n－1)
4、已知数列的通项为
若要使此数列的前n项和最大，则n的值为…………（ ）
（A）12 （B）13 （C）12或13 （D）14
5、已知数列1，1，2，…，它的每一项由一个等比数列和一个首项为0的等差数列对应项相加而得到，那么这个数列的前10项的和为………………………………………………………………（ ）
（A）467 （B）557 （C）978 （D）1068
6、正数a、b的乘积ab是a4＋a2b2与b4＋a2b2的一个等比中项，则ab的…………………………（ ）
（A）最大值为
（B）最小值为
（C））最大值为
（D）最小值为
7、在等差数列{an}中，如果a6＋a9＋a12＋a15＝20，则S20＝ .
8、已知数列{an}是等比数列，首项a1＝8，令bn＝log2an，若数列{bn}的前7项的和S7最大，且S7≠S8，求数列{an}的公比q的取值范围.
*9.已知函数
*10、一个公差不为零的等差数列{an}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项.
⑴求{an}的各项的和S；
⑵若{bn}的末项不大于
，求{bn}项数的最大值N；
⑶记{an}前项和为Sn，{bn}前项和为Tn，问是否存在自然数m，使Sm＝TN？
3.5 特殊数列求和
〖考试要求〗
掌握等差数列与等比数列前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些简单的问题.
〖学习指导〗
1、掌握倒序求和法与错位相减法。
2、记住一些常见结论并且会应用之，学会分析通项的结构并且对通项进行分拆。
〖知识点训练〗
1、记住下列结论：
⑴1＋2＋3＋…＋n= ；⑵1＋3＋5＋…＋(2n－1)= ；
2、求和：
⑴
=
.
⑵
= .
〖典型例题〗
1、求和：S=1－2＋3－4＋…＋
n.
2、求和：S=1+
*3、
4、求和：
4、⑴求数列：1，1＋2，1＋2＋3，…，1＋2＋3＋…＋n，…的前n项之和
*⑵求数列：1，2＋3，4＋5＋6，7＋8＋9＋10，…的通项公式及前n项之和
5、如果0＜n＜100并且n∈N，求S=
的最小值.
〖课堂练习〗
1、求和：
*2、求分母为3，包含在整数m与n之间的所有不可约的分数之和.
〖能力测试〗
1、数列：1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…的前n项之和为…………………………………（ ）
(A)2n－1 (B)2n+1－n－2 (C)2n+1－n (D)2n+1－1
2、数列{an}中，an= (－1)n－1(4n－3)，那么它的前100项之和为……………………………………（ ）
(A)200 (B)－200 (C)400 (D)－400
3、数列{an}中，前n项之和Sn=1－5＋9－13＋17－21＋…+(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31= .
4、如果数列{an}的前n项之和为Sn=3＋2n，那么
=
.
5、如果数列{an}中，an=
，求前n项之和Sn.
6、如果an=12＋22＋…＋n2，求数列
的前n项之和.
7、函数
⑴求
⑵设a1=1，an=-
，求数列{an}的通项公式
⑶求和S=
.
3.6 等差等比数列应用题
〖考试要求〗
能运用等差(比)数列知识解决相关的实际应用问题..
〖学习指导〗
1、等差数列应用题一般是解决增加或减少相同数量的问题；等比数列应用题一般是解决增加或减少相同百分率的问题，转化为数学问题之后，运算量偏大，所列的方程不是高次方程就是指对数方程，有时还要涉及到对数、近似计算（二项式定理）的问题。解决实际问题的关键是闯过阅读理解这一关。
2、请阅读课本第一册（上）P124―125，P133―136，了解关于银行存款计算.
〖典型例题〗
1、用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，余款分20次付完。以后每月付50元加上欠款的利息。如果月利息为1%，那么第10个月要付多少钱，总共要付多少钱？
2、某林场的树木以每年25%的增长率生长，计划从今年起每年冬季砍伐相同数量的木材，并且还要实现20年后木材储量翻两番.问每年的砍伐量应为现在木材总量的多少？（lg2＝0.3）
3、某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元.
(Ⅰ)该船捕捞几年开始盈利？
(Ⅱ)该船捕捞若干年后，处理方案有两种，问哪一种方案合算？为什么？
⑴当年平均利润最大时以26万元的价格卖出；
⑵当盈利总额达到最大时以8万元价格卖出；
4、某县有土地1万亩，其中有70%的沙漠，从今年起进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿地，同时原有绿地的4%又被变为沙漠，设从今年起第n年有绿地an万亩.
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵至少经过几年，绿化面积可以超过60%
*5、某工厂A车间现有职工30人，平均每年可创产值a万元(a为正常数)，为了适应市场经济的发展需要，计划对A车间人员进行裁减.据评估，在生产条件不变的情况下，裁减1人时，留岗职工平均每人每年创造产值增加5%；在一定范围内，裁减n+1个人时比裁减n人时，留岗职工平均每人每年创造产值增加5%(n∈Ｎ*)，为使全年创造的总产值最大，A车间应裁员多少人?
〖能力测试〗
1、某产品成本不断下降，若每隔三年价格要降低25%，现在价格是640元，则12年后的价格是（ ）
（A）270元
一、选择题（60分）
1、已知数列{an}的前n项之和Sn=2n2－3n＋1，那么a4＋a5＋…＋a10=………………………（ ）
（A）139 （B）171 （C）150 （D）161
2、等差数列{an}中，已知d=－2，a1＋a4＋…＋a31=50，那么a2＋a5＋…＋a32=………………（ ）
（A）27 （B）28 （C）－27 （D）－28
3、在等比数列{an}中，
，则a3＋a5=……………………………………（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4、已知数列{an}是等比数列n∈N*，那么下列结论正确的是…………………………………（ ）
（A）an?an+1＞0 （B）an?an+2＞0
（C）an?an+1?an+4＞0 （D）an?an+2?an+4＞0
5、已知6，a，b，48成等差数列，6，c，d，48成等比数列，那么a＋b＋c＋d=……………（ ）
（A）60 （B）70 （C）80 （D）90
6、等差数列{an}中，a1＋a4＋a7=15，a3＋a6＋a9=3，那么S9=……………………………………（ ）
（A）18 （B）27 （C）36 （D）45
7、等差数列{an}中，an＜0，
＋
＋
（A）－9 （B）－11 （C）－13 （D）－15
8、等差数列中，a30=50，a50=30，那么a80=………………………………………………………（ ）
（A）0 （B）80 （C）－20 （D）20
9、如果数列{
}的前n项之和为10，那么n=……………………………………（ ）
（A）11 （B）99 （C）120 （D）121
10、在等比数列{an}中，Sn=3n－1，那么a12＋a22＋…＋an2=……………………………………（ ）
（A）9n－1 （B）3n－1
（C）
（D）
(3n－1)
11、等差数列中，S13=39，那么a7=………………………………………………………………（ ）
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
12、等差数列{an}的第一、二、五项依次成等比数列，则此等差数列的公差为首项的…………（ ）
（A）3倍 （B）2倍 (C）－2倍 （D）2或者0倍
二、填空题（16分）
13、等差数列{an}中，前n项之和为Sn=2n2－13n，那么当Sn最小时， n= .
14、x、y是正数，x，a，b，y成等差，x，m，n，y成等比，则
的取值范围是
.
15、在等比数列{bn}中，S4=4，S8=20，那么S12= .
16、现有200根相同的钢管，要求把它们堆放成正三角形垛并且使得剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数= .
三、解答题（74分）
17、如果数列{an}的前n项之和为Sn=－n2＋3n－4，求其通项公式.
18、在等比数列{an}中，a3=3，S3=9，求其公比.
19、有四个实数，前3个成等比数列，它们的积为216，后3个数成等差数列，它们的和为12，求此四数.
20、已知
，等差数列{
}中，
.
⑴求实数m；
⑵求此数列的通项公式；
⑶求
之值.
21、一种化工产品的单价随纯度的提高而提高。某化学公司计划要用单价为A元/千克的原料100千克进行提纯，每次提纯后产品的总价值按照如下方法计算：每提纯一次，产品的重量减少2%，单价是提纯前的1.3倍，在此基础上每提纯一次，需要扣除加工费是本次提纯前总价值的7.4%.
⑴问第一次提纯后的总价值为多少元？
⑵求使此产品总价值翻一番的最小提纯次数n（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
22、是否存在一个实数等比数列{an}，同时满足：
⑴a3、a4是方程x2－4x＋
=0的根；
⑵至少存在一个自然数m，使
，
，
＋
成等差数列？
如果存在，求出通项公式，如果不存在，说明理由！