哈尔滨市第六中学2009届高三第二次模拟考试
数学（理工类）试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
球的表面积公式，其中表示球的半径
球的体积公式，其中表示球的半径
一、选择题
1.( )
A． B． C． D．
2.计算的值为( )
A． B． C． D．
3.“”是“”成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
4.函数的反函数为（ ）
A． B．
C． D．
5.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
6.已知 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ）
A． B．14 C．15 D．16
7.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)。现定义数列 设是其前项和，那么的概率是( )
A． B． C． D．
8.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为，若，则等于（ ）
A．16 B．26 C．30 D．80
9.已知球O的半径为2cm，A、B、C为球面上三点，A与B，B与C的球面距离都是，A与C的球面距离为cm，那么三棱锥O―ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数的导数处取到极大值，则的取值范围是（）A． B． C． D．
11.在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在线段AB上，则这个椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.对于函数设（且），令集合，则集合为（ ）
A．空集 B.实数集 C.单元素集 D.二元素集
第Ⅱ卷
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2．请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
3．本卷共10小题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设函数为上的连续函数，则= 。
14. 已知，，则z取得最大值时的最优解为 。
15.若且,则实数的值为
16. 给出下列命题：
①若成等比数列；
②已知函数的交点的横坐标为；
③函数至多有一个交点；
④函数
其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若m，n，试求|mn|的最小值．
18．（本题满分12分）
盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
19．（本题满分12分）
已知矩形ABCD中，AB=，AD=1. 将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上.
（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；
（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角B-AC-E的大小.
20．（本题满分12分）
已知数列的前项之和为，点在直线上，数列满足
()。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项之和；
（3）是否存在常数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
21．（本题满分12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，另一个焦点是，且。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值。
22．（本题满分12分）
已知函数在区间上是增函数，在区间上为减函数．
（1）求实数的值；
（2）设函数是区间上的增函数，且对于内的任意两个变量，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：
哈尔滨市第六中学2009届高三第二次模拟考试
数学（理工类）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
D
C
C
B
C
A
B
D
A
二、填空题（4×5=20分）
13.1 14. 15.1或-3 16.②③④
三、解答题：
17．（本题满分10分）
（1），
即，
∴，∴． ------------------3分
∵，∴． ------------------4分
（2）mn ， ------------------5分
|mn|． ----7分
∵，∴，∴．
从而． ------------------8分
∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．
所以，|mn|． ------------------10分
18. （本题满分12分）
解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，
则 ------------------4分
（２）由题意有可能的取值为：２，３，４，５
所以随机变量的概率分布为：
２
３
４
５
Ｐ
所以的数学期望为Ｅ＝＋＋＋＝ ----------------12分
19. （本小题满分12分）
方法1：
（（Ⅰ）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线，∴平面ADC⊥平面BCD. -----------------------2分
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC. ∴平面ADB⊥平面ABC.过C做CH⊥AB于H，∴CH⊥平面ADB，所以CH为所求。且CH=即点C到平面ABD的距离为. -----------------7分
（Ⅲ）解：取中点，连为中点
由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，
则GF为EG在平面ABC的射影，
∴∠EGF是所求二面角的平面角.
在△ABC中
FG＝BC＝, 又EFAD，∴EF＝
在△EFG中容易求出∠EGF=45°.
即二面角B-AC-E的大小是45°. . ----------------12分
20. （本小题满分12分）
（1）由已知条件得=2n+1∴n=n(2n+1) . ----------------2分
当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=4n-1∵a1符合上式∴an=4n-1; ---------------4分
（2）∵
∴
∴∴bn=4×3n+1∴Tn=6(3n-1)+n; ---------------8分
(3)设，假设存在常数p(p≠-1)使数列{ }为等比数列,则有解得p=-81当p=-81时，不存在，∴不存在常数(p≠-1)使数列{ }为等比数列. ---------------12分
（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点， 则点为。-----------------------1分
，而为，则有
则有，所以 -----------------------2分
又因为
所以 -----------------------3分
所以椭圆方程为： -----------------------4分
（2）由（1）知,过点的直线与椭圆交于两点，则
的周长为，则（为三角形内切圆半径），当的面积最大时，其内切圆面积最大。 -----------------------5分
设直线方程为：，，则
--------------------7分
所以-------------------9分
令，则，所以，而在上单调递增，
所以，当时取等号，即当时，的面积最大值为3，结合，得的最小值为-----------------12分
22.解：(1) ∵，依题意，
∴，∴ ………………………1分
又∵，依题意
∴，∴ ………………………2分
∴ ………………………………………………………………3分
（2）由（1）可知
∴在上为减函数，且
∵在上为增函数，∴
∴，∴ ………………………5分
又∵在上，∴依题意有
∴ ………………………………………………………………6分
（3）证明：∵ ………………7分
①当时，，原式成立………8分
②当时，
……………………9分
……………10分
由已知，，∴原不等式成立
∴综上所述， ………………………12分