四川省南充高中高三2009年4月月考
数学（理）(2009.04.15)
命、审题人： 许松柏 陈 昀
满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求.
1．设a,b是满足ab<0的实数，那么
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b| C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
2． 函数的定义域为
A．(－1, 2) B．(－1,0)∪(0, 2) C．(0, 2) D．(－1,0)
3．如果复数为纯虚数，则
A．1 B．2 C．-2 D．0
4．设，则
A． B． C． D．
5.若函数的最小正周期为，且最大值为，则将图象按向量平移后的函数解析式是
A． B． C． D．
6．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜＋3|=
A． B． C． D．4
7. 已知函数,则二项式展开式中常数项是
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
8．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，则直线之间的夹角为
A． B. C. D.
9．我们把球外一点与球面上的一动点之间的距离的最小值叫做该点到球面的距离，则空间一点P(1,4,-2)到球面的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．将正方体的六个面染色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有
A．256种 B．144种 C．120种 D．96种
11．已知是方程的解, 是方程的解,函数，则
A． B．
C． D．
12．过点P（1,1）作一直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M，则点M的轨迹方程为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.
13. 等差数列的前n项和为，若，则数列的公差d = .
和N()（＞0）的
密度函数图象如图所示，则
μ1，μ2，μ3按从小到大的顺序排列是
σ1，σ2，σ3按从小到大的顺序排列是
15. 给出平面区域G为区域（包含的边界），其中A(5,3),B(2,1),C(1,5)．若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个．则实数的值为
三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设的最大值是5，求k的值.
18．(本小题满分12分) 如图：D、E分别是正三棱柱ABC－A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点，且棱AA1=8，AB=4，
(1)求证：A1E∥平面BDC1
19．(本小题满分12分) 已知函数的图像关于原点成中心对称 ，设函数．
(1)求的单调区间;
(2)已知对任意恒成立．求实数的取值范围(其中是自然对数的底数)．
20.(本小题满分12分) 一个口袋中装有大小相同的个红球（≥5且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖.摸一次中奖的概率为。
(1)记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为.试问当n等于多少时，的值最大？
(2)在(1)的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上号的有个（=1,2,3,4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、期望和方差.
21．(本小题满分12分)已知F1,F2是椭圆的左、右焦点,点P（-1，）在椭圆上,线段PF2与轴的交点M满足．
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F1作不与轴重合的直线,与圆相交于A,B．并与椭圆相交于C,D．当,且时,求△F2CD的面积S的取值范围．
22. (本小题满分14分)已知点P在曲线上，设曲线C在点P处的切线为，若与函数的图像交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，设A、B的横坐标分别为、
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设数列数列满足，求和的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当
高三第13次月考数学（理科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
B
C
C
C
A
D
A
D
二、填空题
13、 3 14、μ2＜μ1＜μ3 , σ1＜σ3＜σ2
15、 16、
三、解答题
17、解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，又∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=
∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………………6分
（II）=4ksinA+cos2A =－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）
设sinA=t，则t∈.则=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈
18、解：【方法一】(1)证明：在线段BC1上取中点F，连结EF、DF
则由题意得EF∥DA1，且EF=DA1，∴四边形EFDA1是平行四边形
∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)由A1E⊥B1C1，A1E⊥CC1，得A1E⊥平面CBB1C1，过点E作
EH⊥BC1于H，连结A1H，则∠A1HE为二面角A1－BC1－B1的平面角 …8分
在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4，得BC1边上的高为，∴EH=，
又A1E=2,∴tan∠A1HE==＞∴∠A1HE＞60°， …11分
∴M在棱AA1上时，二面角M－BC1－B1总大于60°，故棱AA1上不存在使二面角M－BC1－B1的大小为60°的点M. …12分
【方法二】建立如图所示的空间直角坐标系，题意知B(－2,0,0), D(2,40),A1(2,8,0), C1(0,8,2)，B1(－2,8,0), E(－1,8,),=(－4,－4,0), =(－2,4,2), =(－3,0, ),
=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0), =(2,8, 2).
(1)证明：∵=2(+)∴A1E∥平面BDC1 ……………………6分
(2)设=（x,y,1）为平面A1BC1的一个法向量，则，且，即
解得∴=（,,1），同理，设=（x,y,1）为平面
B1BC1的一个法向量，则，且，即解得
∴=（－,0,1），∴cos<,>==－
∴二面角A1－BC1－B1为arccos. 即arctan,又∵＞
∴二面角A1－BC1－B1大于60°， ∴M在棱AA1上时，二面角M－BC1－B1总大于60°，故棱AA1
上不存在使二面角M－BC1－B1的大小为60°的点M. ………………………12分
19、解: (1) 由已知可得C=0, ∴
, 令,得．列表如下:
(0,1)
-
-
+
单调减
单调减
单调增
所以的单调增区间为,单调减区间为和……………6分
(2)在两边取对数,得．而．所以
由(1)知当时,．所以．……………………12分
20、解：(1)一次摸奖从个球中任取两个，有种方法。它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，一次摸奖中奖的概率p ……2分
设每次摸奖中奖的概率为p，三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是f(p)= ，f’(p)=,故 f(p)在上为增函数,f(p)在上为减函数， ……4分
（用重要不等式确定p值的参照给分）
∴当时f(p)取得最大值，即，解得或（舍去），则当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大. …6分
(2)由(1)可知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
4
………………8分
Eξ=0×+1×+2×+3×+4× = …………………10分
Dξ=(0－)2×+(1－)2×+(2－)2×+(3－)2×+(4－)2× = ………………12分
21、解：(1):∵ ∴M是线段PF2的中点．
∴OM是△PF1F2的中位线．又OM⊥F1F2．∴PF1⊥F1F2．
∴ 解得．
∴椭圆方程为． …………………………………………………………4分
(2)设方程为,
由 得
…………………………………………6分
由得．
由 得 设．
则 ………………9分
设, 则
关于在上是减函数．所以．…………………………12分
22、解：（Ⅰ），（1分） 又点P的坐标为，
∴曲线C在P点的切线斜率为，
则该切线方程为，…………………… 2分
由
因此， …………………………（4分）
（Ⅱ）
即 （6分）
①当；……………………（7分）
②当为公比等比数列，
………………………………（9分）
综合①、②得 …………………（10分）
（Ⅲ）
………（11分）
故不等式 …………………………（14分）