广东北江中学零八届高三摸底测试
数学试题(文科)
第一部分 选择题 (共50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数
的虚部为（ ）
. －2 
.2 
. 
. 
2．
设集合
，
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在等差数列
中，已知
，则
( )
A. 8 B.
4. 
辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图
如右图所示，时速在
的汽车大约有 （
）
.
辆 . 
辆 .
辆 .80辆
5．若平面向量
与
的夹角是180°，且
，则等于
A．
B.
C.
D.
6．已知不等式
，则
的解集为（ ） 
7．已知圆C：
及直线
：
，当直线被C截得的弦长为
时，则
等于（ ）
A．
B.
C.
D.
8．已知直线、
,平面
，则下列命题中假命题是( )
A．若
，
,则
B．若，
,则
C．若
，
,则
D．若
，
,,
,则
9．
已知函数
的图象与
的图象在
轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为
，则
＝（ ）
. 
. 
.
.
10．已知函数
满足
，且
时，
，则与
的图象的交点个数为
A．3
B
第二部分 非选择题(共100分)
二.填空题：（每小题5分, 共20分.）
11.不等式
的解集是_____________.
12. 运行右边算法流程，当输入x的值为_____时，输出的值为4。
13. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸，
它的体积为 .
选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.
14.在直角坐标系
中，已知曲线的参数方程是
（
是参数），若以
为极点，
轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.
15. 已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3， BD＝6，则PB＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
设全集
，集合
，集合
(Ⅰ)求集合与；
(Ⅱ)求
、
17．（本小题满分12分）
在
中,
.
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ) 记
的中点为,求中线
的长.
 |
18. (本题满分14分)
如图，已知四棱锥
的底面
是菱形,
平面, 点
为
的中点.
（Ⅰ）求证:
平面
;
（Ⅱ）求证:
平面
.
19. (本题满分14分)
在数列中
中，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前
项和
；
（Ⅲ）证明存在
，使得
对任意
均成立．
20. (本题满分14分)
曲线C上任一点到点
，
的距离的和为12， C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，
．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）以曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为
，求直线l的方程．
21. (本题满分14分)
已知函数
，若对任意
，
且
，都有
．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）对于给定的实数，有一个最小的负数
，使得
时，
都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．
广东北江中学08届高三摸底测试
数学(文科)试题答题卷
2007年8月
第二部分 非选择题答题卷
二、填空题（每小题5分，共20分）：
11.________________________；12.___________；13.____________；
14.________________________；15.______________________；
三、解答题：（共80分，要求写出解答过程）
16.(本小题满分12分)
17.(本小题满分12分)
18.(本小题满分14分)
19.(本小题满分14分)
20.(本小题满分14分)
21.(本小题满分14分)
广东北江中学08届高三摸底测试数学试题(文科)答案
二、填空题 11. 
，
(第一空2分，第二空3分)，
12. 3， 13. 8，
14. 
, 15. 15
三、解答题
16.(本题满分12分)
解：(Ⅰ)
，不等式的解为
，
，
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
，
，
，
17．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ)由
, 是三角形内角，得
……………..2分
∴ 
………………………………………..5分
…………………………………………………………6分
(Ⅱ) 在
中,由正弦定理，
，
…………………………………………………………………………………………………..9分
, ,
由余弦定理得:
=
…………………………………12分
18.(本题满分14分)
（Ⅰ）证明: 连结
，
与交于点
，连结
.…… 1分
是菱形, 
是的中点.
点为的中点, 
. …… 4分
平面
平面,
平面.
…… 7分
(Ⅱ)证明: 平面,
平面,
.
…… 10分
是菱形, 
.
…… 12分
， 
平面. …… 14分
19.(本题满分14分)
解：由
，可得
，………………………………2分
所以
为等差数列，其公差为1，首项为1，故
，…………………………4分
所以数列的通项公式为
．………………………………………………5分
（Ⅱ）解：设
， ①
②……………7分
①式减去②式，
得
，………………10分
．
所以数列的前项和为．………………………………11分
（Ⅲ）证明：
是单调递减的， ………13分
因此，存在
，使得
对任意均成立………………14分
20．(本题满分14分)
解：（Ⅰ）设G是曲线C上任一点，依题意，
………………………… 1分
∴曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半轴a=6，半焦距c=4，
∴短半轴b=
，……………………………………………………………… 3分
∴所求的椭圆方程为
；……………………………………………………… 4分
（Ⅱ）由已知
,
，设点P的坐标为
，则
由已知得
…………………… 6分
则
，解之得
，………………………………………… 7分
由于
，所以只能取
，于是
，
所以点P的坐标为
；………………………………………………………… 8分
（Ⅲ）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为
，………………… 9分
若过P的直线l与x轴垂直，则直线l的方程为
，这时，圆心到l的距离
，
∴
，符合题意；…………………… 10分
若过P的直线l不与x轴垂直，设其斜率为k，则直线l的方程为
，
即
，这时，圆心到l的距离
∴
，…………………………… 12分
化简得，
，∴
，
∴直线l的方程为
，……………………………… 13分
综上，所求的直线l的方程为或 ……………… 14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）
解：（Ⅰ）∵
，
……2分
∵，∴
．∴实数的取值范围为
．
……4分
（Ⅱ）∵
，
显然
，对称轴
．
……6分
（1）当
，即
时，
，且
．
令
，解得
，
此时取较大的根，即
，
∵，∴
．
……10分
（2）当
，即
时，
，且
．
令
，解得
，
此时取较小的根，即
，
∵，∴
．
……13分
当且仅当
时，取等号．
∵
，
∴当时，取得最小值－3．
……14分