类型：Ｂ
2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：如果事件
互斥，那么
．
已知
是正整数，则
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知
，复数
的实部为
，虚部为1，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．记等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量
满足
则
的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示
分别是
三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
6．已知命题
所有有理数都是实数，命题
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设
，若函数
，
有大于零的极值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
的中点，
的延长线与
交于点
．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（一）必做题（9~12题）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（注：框图中的赋值符号“
”也可以写成“
”或“
”）
10．已知
（
是正整数）的展开式中，
的系数小于120，则
．
11．经过圆
的圆心
，且与直线
垂直的直线方程是 ．
12．已知函数
，，则
的最小正周期是
．
二、选做题（13―15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的极坐标方程分别为
，
，则曲线
与
交点的极坐标为
．
14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程
有实根，则的取值范围是
．
15．（几何证明选讲选做题）已知
是圆
的切线，切点为
，
．是圆的直径，
与圆交于点
，
，则圆的半径
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数
，的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求的解析式；
（2）已知
，且
，
，求
的值．
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为
．
（1）求
的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为
，一等品率提高为
．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
设
，椭圆方程为
，抛物线方程为
．如图4所示，过点
作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为
，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点
．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设
分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点
，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
设
，函数
，
，，试讨论函数
的单调性．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥
的底面是半径为
的圆的内接四边形，其中是圆的直径，
，
，
垂直底面，
，
分别是
上的点，且
，过点
作
的平行线交于．
（1）求与平面
所成角
的正弦值；
（2）证明：
是直角三角形；
（3）当
时，求的面积．
21．（本小题满分12分）
设
为实数，
是方程
的两个实根，数列
满足
，
，
（
…）．
（1）证明：
，
；
（2）求数列的通项公式；
（3）若
，
，求的前项和．