海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（理科） 2008.05
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分考试时。120分钟.考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项 ：
1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。
2．选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（1）直线
的倾斜角是
（ ）
（A） 
（B） 
（C） 
（D）
(A)20 (B)40 (C) 60 (D)80
（2）某中学有高一、高二、高三学生共1600名，其中高三学生400名.如果用分层抽样的方法从这1600人中抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是 （ ）
（3）函数
的反函数是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）函数
与
在同一直角坐标系下的图象是
（ ）
（A） (B) (C) (D)
（5）设
是三条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ）
（A）若
与l所成的角相等，则
（B）若g与a，b所成的角相等，则a//b
（C）若与a所成的角相等，则
（D）若a//b，
Ì a, 则
(6) 若an=
（
）, 则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知集合A满足条件：若
，则
，那么集合
中所有元素的乘积为（ ）
(A) 
(B)
(C) 
(D) 
（8）双曲线
的左、右焦点分别为
，点
（）在其右支上，且满足
，
，则
的值是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
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数 学（理科） 2008.05
第II卷（共110分）
注意事项 ：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
（9）已知映射
，集合A中元素x在对应法则f作用下的象为
，那么A中元素
的象是
.
（10）集合
,B={x| |x-2|<3},
=
.
（11）在等差数列
中，若
，则
= .
（12）设圆
关于直线
对称的圆为C,则圆C的圆心坐标为
;再把圆C沿向量
a=(1,2)平移得到圆D,则圆D的方程为
.
（13）在棱长为
的正方体
中， 
分别为棱
和
的中点，则线段
被正方体的内切球球面截在球内的线段长为_______________.
（14）中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日“ ”）
的对角线走.例如马从方格中心点O走一步，会有8种走法.
则从图中点A走到点B，最少需__________步，按最少的步数走，共有__________种走法.
(15)（本小题共12分）
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
设函数
,其中向量
, 
,
（I）求
的值及函数
的最大值；
（II）求函数的单调递增区间.
（16）（本小题共14分）
如图，正方体ABCD-A1B
(Ⅰ) 求证：PD⊥AD1；
(Ⅱ) 当A1P=
A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值；
(Ⅲ) 当A1P=
A1B1时，求点C到平面D1DP的距离.
（17）（本小题共13分）
某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动. A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个. 假定参赛者答对每个题的概率均为
.
（I） 求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
（II） 设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为
，求E.
（18）（本小题共13分）
如图，矩形ABCD中，AB=
，BC=
，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7.
（I）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程;
（II）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于
两点，设椭圆的右焦点为
，当
时，求
的面积.
（19）（本小题共14分）
已知：函数
（
）.
（I）若函数
的图象在点P（1，
）处的切线的倾斜角为
，求a；
（II）设的导函数是
,在（I）的条件下.若
，求
的最小值；
（Ⅲ）若存在
，使
，求a的取值范围.
（20）（本小题共14分）
已知函数
，满足：
①对任意
，都有
；
②对任意
都有
.
（I）试证明：为
上的单调增函数；
（II）求
；
（III）令
，试证明：.
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数学（理科）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
D
B
A
C
D
C
B
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9） 
（10） 
或
（11）
（12） 
, 
（13）
（14）4，8
三、解答题（本大题共6小题,共80分.）
(15) （共12 分）
解：（I）
，
，
=
?
2分
4分
= 
. 5分
又
6分
函数
的最大值为
.
7分
当且仅当
（
Z）时，函数取得最大值为.
（II）由
（Z），
9分
得
（Z）.
11分
函数的单调递增区间为[
](Z). 12分
(16) （共14分）
解法一：（I）证明：连结A1D,在正方体AC1中, ∵A1B1^平面A1ADD1,
\ A1D是PD在平面A1ADD1 内的射影. 2分
在正方形A1ADD1中， A1D^ AD1, \ PD⊥AD1. 4分
解(II) 取
中点
，连结
，
，则//
.
平面
，∴
平面.
∴为
在平面内的射影.
则
为CP与平面D1DCC1所成的角.
7分
在
中，
∴与平面D1DCC1所成的角的正弦值为
. 9分
（III）在正方体AC1中，
∥
.
平面
内，
∴∥平面.
∴点
到平面的距离与点C1到平面的距离相等.
又平面
，
面
，
∴平面平面.
又平面
平面
，
过C1作C1H
于H，则C1H平面.
∴C1
的长为点C1到平面的距离.
12分
连结C1
，并在
上取点
,使
//
.
在
中，
，得
.
∴点到平面的距离为
.
14分
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系
.
由题设知正方体棱长为4，则
、
、
、
、
、
.
1分
（I）设
,
. 
3分
, 
.
4分
（II）由题设可得，
, 故
.
， 
是平面
的法向量.
7分
.
8分
∴与平面D1DCC1所成角的正弦值为.
9分
（III）
，设平面D1DP的法向量
，
∵
.
则
，即
令
，则
.
12分
点C到平面D1DP的距离为
.
14分
（17）（共13分）
解（I）设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M， 1分
依题意，答对一题的概率为
，则
P(M)=
3分
=
.
4分
（II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数
=1,2,…,6,
5分
则
，
，
，
，
，
.
11分
所以，的分布列是
1
2
3
4
5
6
P
设
，
则
∴
,
∴ E=
=
.
13分
答：某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为
；某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为，E为
.
（18）（本小题共13分）
解；如图，建立直角坐标系，依题意：设椭圆方
程为
（a>b>0）， 1分
（I）依题意：
4分
椭圆M的离心率大于0.7，所以
.
椭圆方程为
.
6分
（II）因为直线l过原点与椭圆交于点
，设椭圆M的左焦点为
.
由对称性可知，四边形
是平行四边形.
的面积等于
的面积.
8分
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