2、平抛运动的方程：

这些方程有什么共同点？

二、归结：

 1、定义：一般地，在平面直角坐标系内，曲线C上任意一点P(x,y)可以表示为某个变量t 的函数；反之，对于t的每个允许值，所确定的点P(x,y)在曲线C上，则称曲线C的方程，变量t叫参变数，简称参数

2、典型例题

   例1、若是曲线C的参数方程，f(t)、g(t)分别是偶函数、奇函数，则曲线C一定关于________对称？

解：(x,y)∈C，t使    ∵f(-t)=x,g(-t)=-g(t)=-y∴(x,-y)∈C，于是曲线C关于x轴对称

例2、以O为圆心，分别以a,b为半径(a>b>0)作两个圆，自O作一射线分别交两圆于M、N两点，MT⊥OX于T，NP⊥MP于P，求点P的轨迹方程

解：设P(x,y),∠TOM=θ，则x=OT=OMcosθ=acosθ,y=SN=ONsinθ=bsinθ,所以轨迹的参数方程为

说明：消去θ得，表明是一个椭圆，所以椭圆的参数方程为，θ为参数，称离心角，注意θ不是直线OP的倾斜角

练习1：对于椭圆，θ为参数，(1)求θ=时点的坐标及该点与原点连线的斜率

(2)若直线OP的倾率为，P在椭圆上，求点P的坐标。(3)点(x,y)在椭圆上，求4x+4y的范围

例3、已知圆O：x²+y²=r²(r>0),LM为平行于直径AB的半弦，BL∩OM=P，选择适当的参数，求点P的参数方程

     解：设OM的斜率为k,P(x,y),则y=kx,又M(,L(0, ),直线LB:与y=kx联立得，k为参数

  思考：求一条曲线的参数方程时，常见的参数有哪些？

（几何参数：角、斜率、坐标；物理参数：时间、路程等）

[情况反馈]

                         第二课时     参数方程与普通方程的互化

[教学目的]

[教学重点、难点] 参数方程与普通方程的互化中等价转化问题

[教学过程]

例1、将下列以t为参数参数方程化成普通方程，并说明曲线的形状

(1)（p>0）   (2)(t∈)   (3)

解：(1)将t=代入x的表达式得x=2p()²y²=2px,表示的是以(,0)为焦点以x=-为准线的抛物线

   说明1：将参数方程化成普通方程，关键在于消去参数，此过程称消参，以上通过一个式子解出参数再代入另一式子的方法称代入法

   说明2：对于抛物线y²=2px上任意一点P(x,y),直线OP的斜率为k,则y=2p,x=2p,所以这里参数t的几何意义是抛物线上的点与原点连线斜率的倒数

   (2)将x=sint代入y的解析式得到y=1-x²,注意-1≤x≤1，从而方程为y=1-x²  (-1≤x≤1)，表示图形为抛物线的一段

说明：参数方程化成普通方程，变量的范围不应有丝毫变化；转化后如果是函数，可以只注定义域，否则都加注，不注意味着式子有意义的一切值

 （3）ab≠0时，=，=，两式平方相减得表示双曲线

ab=0时，有a=0或b=0

a=0,b≠0时，方程为x=0,表示一条直线

a≠0,b=0时，方程为y=0(x≥2或x≤-2)，表示两条射线

a=b=0时，方程为x=y=0表示坐标原点

练习：将下列参数方程化成普通方程

(1) (t为参数)   (x²+y²-2x=0)  

(2)，θ为参数，          （x²=y+1(|y|≤1)）

(3), θ为参数              （点(±1，0)）

例2、写出过P(x₀,y₀),倾斜角为α的直线的参数方程

解：设P(x,y)是直线上任意一点，有向线段P₀P的数量为t，则x-x₀=tcosα，y-y₀=tsinα,所以参数方程为，t为参数，t的几何意义是定点P₀到动点P的数量

思考：直线l上有两点P₁、P₂，对应的参数分别为t₁,t₂,则|P₁P₂|=________(|t₂-t₁|)

练习：求经过点P(1,-5),倾斜角为的直线的参数方程，并求此直线与直线x-y-2=0的交点到P的距离（教材54页第6题）

例3、选择适当的参数，写出方程(x-a)²+(y-b)²=r²的参数方程，其中r>0

解：，α为参数，几何意义旋转角

说明：参数不同，曲线的形状也不一定相同，同一曲线，由于参数不同方程也不尽相同；所以写参数方程时，一定要注明谁是参数

2、抛物线、直线、圆参数方程及其几何意义

3、不作特殊申明，曲线方程要写成普通方程，因为参数方程不惟一

[补充习题]求教材习题第六题中原点到直线的距离

[情况反馈]

                     第三课时     参数方程的应用

[教学目标]

[教学难点、重点]参数方程的应用

[教学过程]

2、常见的参数方程：直线、圆、椭圆、抛物线，指出圆与椭圆参数方程可以按代换方法得到

例1、已知M是椭圆（a>b>0）上在第一象限的点，A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB面积的最大值（教材例1）

解：设M(acosθ,bsinθ)，0<θ<,S_{四边形MAOB}=S_△MAO+S_△MOB=OAy_M+OBx_M=ab(sinθ+cosθ)

=,当θ=时，四边形MAOB面积的最大值为

   练习：求椭圆内接矩形面积的最大值（可以用普通方程和参数方程两个比较进行）

例2、OA是圆C的直径，OA=2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，求点P的轨迹方程

解：[方法一]设P(x,y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ=θ，由已知

x=OD=OQ.cosθ=OA.cosθ=2acos²θ，y=AB=OA.tanθ=2a.tan2θ,故P点的参数方程为

，化为普通方程为y²=4a²(-1)

[方法二]设轨迹上一点为P(x,y)，设直线OB的方程为y=kx,则圆C：x²+y²-2ax=0,可以解得B(2a,2ak),Q(,),从而P(，2ak), 所求的参数方程为，化为普通方程为y²=4a²(-1)

例3、如图是用鼻坝进行挑流的示意图。已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坝坎角为30⁰，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与鼻坝坝基的水平距离

解：建立如图直角坐标系，设轨迹上任意一点为P(x,y)，鼻坝出口书的水流速度为v==设时间t为参数，则，即y=,x∈[0,18],y=-18,得x=18

答：水流与鼻坝坝基的水平距离为18

[补充习题]

1、直线,t为参数被圆x²+y²=4截得的弦长为____________

2、若3x²+2y²=6x,则x²+y²的最大值为___________，最小值为_______________

3、椭圆，（θ为参数）上的点到直线x+y-13=0的最断距离为__________

4、过抛物线y²=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，求线段AB中点M的轨迹方程

[补充习题答案]

1、

2、4，0

3、4

4、y²=px-2p²

[情况反馈]