天津市和平区2008-2009学年度高三第二学期第一次质量调查
数学理
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
第I卷
本卷共10小题,每小题5分,共50分。
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1 复数等于
A B C D
2 设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为
A B C D
3 设集合,则
A B
C D
4 在等比数列中,,且,则等于
A B C D
5 过点作直线l与圆交于A、B两点,如果|AB|=8,则直线l的方程为
A B
C D
6 如图,在正四面体中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论不成立的是
A
C 平面PDF⊥平面PAE D 平面PDE⊥平面ABC
7 已知函数的最小正周期为,则该函数的图象
A 关于直线对称 B 关于点对称
C 关于直线对称 D 关于点对称
8 的值是
A B C D
9 如图,F为抛物线的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若,则等于
A 6 B
10 已知0<a<b,且a+b=1,下列不等式成立的是
A B
C D
第II卷
本卷共12小题,共100分。
11 某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女生中抽取的人数为80,则n等于________。
12 在如下图所示的程序框图中,当程序被执行后,输出s的结果是________。
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中横线上。
13 在的展开式中,的系数是________(用数字作答)。
14 已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为________。
15 有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,若某女生必须担任语文科代表,则不同的选法共有________种(用数字作答)。
16 如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D。若,则BD的长为________;AC的长为________。
17 (本小题满分12分)
三、解答题:本大题共6小题,共76分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
在△ABC中,。
(I)求cosC;
(II)设,求AB。
18 (本小题满分12分)
在4名男生和3名女生中挑选3人参加志愿者服务活动。
(I)求至多选中1名女生的概率;
(II)记女生被选中的人数为随机变量,求的分布列和数学期望。
19 (本小题满分12分)
如图,正四棱锥P―ABCD的底面边长与侧棱长都是2,点O为底面ABCD的中心,M为PC的中点。
(I)求异面直线BM和AD所成角的大小;
(II)求二面角M―PB―D的余弦值。
20 (本小题满分12分)
已知等差数列的前三项为,记前n项和为。
(I)设,求a和k的值;
(II)设的值。
21 (本小题满分14分)
设A、B分别为椭圆为椭圆上一点,椭圆的长半轴的长等于焦距。
(I)求椭圆的方程;
(II)设,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。
22 (本小题满分14分)
已知函数。
(I)求的值域;
(II)设,函数。若对任意,总存在,使,求实数a的取值范围。
一、选择题
1 B
二、填空题
11 192 12 286 13 14 15 840 16
三、解答题
17 (本题12分)
解:(I)
2分
(II)
8分
由已知条件
根据正弦定理,得 10分
12分
18 (本题12分)
解:(I)在7人中选出3人,总的结果数是种, (2分)
记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A,则A包含两种情形:
①被选中的是1名女生,2名男生的结果数是,
②被选中的是3名男生的结果数是 4分
至多选中1名女生的概率为 6分
(II)由题意知随机变量可能的取值为:0,1,2,3,则有
,
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的数学期望 12分
19 (本题12分)
解:(I)连接PO,以OA,OB,OP所在的直线为x轴,y轴,z轴
建立如图所示的空间直角坐标系。 2分
∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2。
∴
∴
(II)∵
∴是平面PDB的一个法向量。 8分
由(I)得
设平面BMP的一个法向量为
则由,得
,不妨设c=1
得平面BMP的一个法向量为 10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值为 12分
20 (本题12分)
解:(I)由已知得
2分
由,得 4分
即。解得k=50或(舍去)
6分
(II)由,得
8分
9分
是等差数列
则
11分
12分
21 (本题14分)
解:(I)依题意得
2分
把
解得
∴椭圆的方程为 4分
(II)由(I)得,设,如图所示,
∵M点在椭圆上,
∴ ①
∵M点异于顶点A、B,
∴
由P、A、M三点共线,可得,
从而 7分
∴ ② 8分
将①式代入②式化简得 10分
∵
∴ 12分
于是∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,
∴点B在以MN为直径的圆内。 14分
22 (本题14分)
解:(I),
令 2分
而
∴当 4分
(II)设函数g(x)在[0,2]上的值域是A,
∵若对任意
∴ 6分
①当,
∴函数上单调递减。
∵
∴; 8分
②当
令(舍去) 9分
(i)当时,的变化如下表:
(ii)当
∴函数g(x)在(0,2)上单调递减。
综上可知,实数a的取值范围是