福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查数学试题注意事项:1．本科考试分试题卷和答题卷.考生须在答题卷上作答.答题前.请在答题卷的密封线内填写学校.班级.学号.姓名,2．本试卷分第I卷和第II卷两部——青夏教育精英家教网——

福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查

数学试题（理科）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；

2．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

样本数据的标准差：

为样本平均数；

柱体体积公式：，其中S为底面面积，h为高；

锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高；

球的表面积、体积公式：，其中R为球的半径。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在题目后面的括号内。

1．已知为虚数单位，则（）

A． B． C． D．

2．设集合= （）

A．（―3，2） B．

C． D．

3．已知等比数列= （）

A． B． C． D．

y-c-y

A．36 B．45 C．55 D．56

5．图2是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是（）

6．已知实数则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数两函数的图像的交点个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知P是△ABC所在平面内的一点，若一定在（）

A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上

C．AB边所在直线上 D．BC边所在的直线上

9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，

（）

A． B． C． D．

10．已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值10¹⁰。为了简单起见，科学家用来记录A菌个数的资料，其中为A菌的个数。则下列判断中正确的个数为（）

①

②若今天的值比明天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个

③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5<<5.5

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

情况，采用分层抽样的方法抽取了500户

家庭的月平均电用量，并根据这500户家

庭月平均用量画出频率分布直方图（如图），

则该地区1000户家庭中月平均用电度数

在[70，80]的家庭有户。

12．已知实数的最小值为。

13．= 。

14．已知抛物线，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两个点，则坐标原点与A、B两点构成的三角形的面积为。

15．二项式的展开式中，前三项的系数依次为等差数列，则展开式的第8项的系数为。（用数字表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）

已知的最小正周期为。

（I）求的单调递增区间；

（II）求的最大值和最小值。

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱柱ABC―A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，

∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点。

（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF//平面A₁BD；

18．（本小题满分13分）

甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏。

（I）求在前3次抛掷中甲得2分，乙得1分的概率；

（II）若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率；

（III）用ξ表示决出胜负抛硬币的次数，求ξ的分布列及数学期望。

19．（本小题满分13分）

如图，在椭圆中，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF₁交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点F₁、F₂三等分线段BD。

（I）求a的值；

（II）若四边形EBCF₂为平行四边形，求点C的坐标。

20．（本小题满分14分）

已知处的切线。

（I）求l的方程；

（II）若切线l与曲线有且只有一个公共点，求a的值；

（III）证明：对于任意的总有单调递减区间，并求出的单调递减区间的长度的取值范围。（区间）

21．选做题：本题有（I）、（II）、（III）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。

（I）选修4―2：短阵与变换

求出曲线作用下变换得到的曲线方程

（II）选修4―4：坐标系与参数方程

求经过极点且圆心的极坐标为的圆C的极坐标方程。

（III）选修4―5：不等式选讲

已知

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1―5 DCCBD 6―10 ACBBB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

11．1200 12．―3 13．e 14．2 15．16

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）

解：（I）由已知

（II）

（I）证明：（1）连接CD₁

∵四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形

∴A₁D₁//AD，AD//BC，A₁D₁=AD，AD=BC；

∴A₁D₁//BC，A₁D₁=BC，

∴四边形A₁BCD₁为平行四边形；∴A₁B//D₁C………3分

∵点E、F分别是棱CC₁、C₁D₁的中点；∴EF//D₁C

又∴EF//A₁B

又∵A₁B平面A₁DB，EF面A₁DB；

∴EF⊥平面A₁BD ………………6分

（II）连结AC交BD于点G，连接A₁G，EG

∵四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，

底面ABCD是菱形

∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，

AD=AB，BC=CD

∵底面ABCD是菱形，∴点G为BD中点，

∴A₁G⊥BD，EG⊥BD

∴∠A₁GE为直二面角A₁―BD―E的平面角，

∴∠A₁GE=90°………………3分

在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，

∴∠ABC=120°，

∴AC=

∴AG=GC= ………………10分

在面ACC₁A₁中，△AGA₁，△GCE为直角三角形

∵∠A₁GE=90°∴∠EGC+∠A₁GA=90°，∴∠EGC=∠AA₁G，

∴Rt△A₁AG∽Rt△ECG ………………12分

解法二：

（I）证明：取AB的中点G，连接GD

∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=2

∴△ABD是正三角形，∴DG⊥AB，DG=

又∵AB//CD，∴DG⊥DC …………2分

∵四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，AA₁//DD₁

A₁A⊥底面ABCD，∴DD₁⊥底面ABCD

以D为坐标原点，射线DG为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，

建立如图所示空间直角坐标系D―xyz.

18．解：（I）掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：

（上上上），（上上下），（上下上），（上下下），（下上上），（下上下），（下下上），（下下下）；

其中甲得2分、乙得1分的有3种，故所求概率 …………3分

（II）在题设条件下，至多还要2局，情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为1/2；情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，则甲积3分、乙积2分，甲获胜，概率为1/4。由加法公式，甲获胜的概率为1/2+1/4=3/4。 ………………8分

（III）据题意，ξ的取值为3、4、5，

且 ………………11分

其分布列如下：

ξ

3

4

5

P

1/4

3/8

3/8

………………13分

19．解：（I）∵F₁，F₂三等份BD， …………1分

………………3分

（II）由（I）知为BF₂的中点，

（III）依题意直线AC的斜率存在，

同理可求

（III）法二：

20．（I）解：

（II）切线l与曲线有且只有一个公共点等价

①

的唯一解； ………………7分

②

x

（―1，0）

0

+

0

―

0

+

极大值0

极小值

③

x

0

+

0

―

0

+

极大值

极小值0

（III）

21．（I）由已知BA= ………………2分

任取曲线

则有=，即有 ………………5分

………………6分

即 …………① 与 ………………②

比较①②得

（II）设圆C上的任意一点的极坐标，过OC的直径的另一端点为B，

边PO，PB则在直角三角形OPB中， …………5分

（写不扣分）

从而有 ………………7分

（III）证：为定值，

利用柯西不等式得到

………5分