第三节 梯形
【回顾与思考】
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【例题经典】
与梯形有关的计算
例1．（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC的长．
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【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为解题创造必要的条件．
等腰梯形的判定
例2．（2005年南通市）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD于F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=
（1）求证：四边形ABFE为等腰梯形；
（2）求AE的长．
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【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形ABFE为梯形，再说明AE=BF，作DG⊥AB于G，利用CD=.files/image008.gif)
AB解决AE=BF．（2）问要利用Rt△BCF∽Rt△ABF，求出AF长，再用BF2=CF?AF，即可求出BF长，进而得到AE长．
梯形性质的综合应用
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例3．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．
【解析】△ADE是等边三角形．
理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，
∵∠B=∠C．
∴E为BC的中点，
∵BE=CE．
在△ABE和△DCE中，
∵.files/image012.gif)
∴△ABE≌△DCE．
∵AE=DE．
∴AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AB=DE
∵AB=AD，
∴AD=AE=DE．
∴△ADE为等边三角形．
【考点精练】
一、基础训练
1．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为
2．如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为________．
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(第2题) (第3题)
3．如图所示，图1中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图2．
4．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=________．
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(第4题) (第5题) (第7题)
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，如下四个结论：
①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC．
请把其中正确结论的序号填在横线上：________．
6．（2006年攀枝花市）若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．（2006年温州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（ ）
A．6 B．
8．（2006年潍坊市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB的中点，EC∥AD，则∠ABC等于（ ）
A．75° B．70° C．60° D．30°
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(第8题) (第9题) (第10题)
9．（2006年长沙市）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（ ）
A．19 B．
10．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．
11．（2006年随州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连结B′E交CD于F，则.files/image030.gif)
的值为（ ）
A．.files/image032.gif)
B．.files/image034.gif)
C．.files/image036.gif)
D．.files/image038.gif)
12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，下面四个结论：
①△AOB∽△COD; ②△AOD∽△BOC; ③.files/image040.gif)
; ④S△AOD=S△BOC,其中结论始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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(第11题) (第12题) (第13题)
二、能力提升
13．（2006年广安市）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC的中点，连接AF、DE．求证：△ADE是等腰三角形．
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．
求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．
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三、应用与探究
15．（2006年湖州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，DE∥AB．
求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．
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答案：
例题经典
例1．28 例2．（1）略
（2）AE=4.files/image052.gif)
考点精练
1．60° 2．30 3．底角为60°且腰长等于上底长
4．4 5．①，③，④ 6．B 7．B 8．C 9．D 10．A 11．A 12．A
13．△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，而∠DAE=∠AEB．∠ADE=∠DEC．
∴∠DAE=∠ADE，∴△ADE是等腰三角形
14．（1）由∠ADC=120°，可得∠C=∠ABC=60°，
从而得到∠ADB=30°，∴BD⊥DC．
（2）12.files/image054.gif)
15．证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
∵AB=DC，
∴DE=DC
（2）∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°．
又∵DE=DC，
∴△DEC是等边三角形．