泉州七中09届高三年第一学期第三次月考数学试卷（理科）
考试时间：120分钟；满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
1、集合
，
，则
等于（
）
A、
B、
C、
D、
2、已知△ABC的三边a，b，c满足
，则△ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上都不对
3、在等腰直角三角形
中，在斜边
上任取一点
，则
小于
的概率（ ）
A、
B、
C、
D、
4、以下判断正确的是（ ）
A、命题“对边平行且相等的四边形是平行四边形”不是全称命题；
B、命题“
”的否定是“
”；
C、“
”是“
”的充要条件；
D、“
是无理数”是“
是无理数”的充要条件。
5、函数
的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、函数
的零点所在的大致区间是（ ）
A、
B、
C、
D、
7、右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）
A、 B、
C、
D、
8、过点
的直线L将圆
分成两段弧，
当其中的劣弧最短时，直线L的方程是（ ）
A、
B、
C、
D、
9、已知O，A，M，B为平面上四点，且
，则（ ）
A、点M在线段AB上 B、点B在线段AM上
C、点A在线段BM上 D、O、A、M、B四点一定共线
10、椭圆
的左、右焦点分别为
，
弦AB过，若△AB的内切圆周长为
，
A、B两点的坐标分别为
和
，则
的值为（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。把答案填写在答题卡上相应的位置。只须写出最后结果，不必写出解题过程。
11、
的展开式中
项的系数是
。
12、给出下列命题：
①已知直线m、
，平面
、
，若
，
，∥，则
；
②
，是
、
的夹角为锐角的充要条件；
③若
在
上满足
，则是以4为周期的周期函数；
④
的图象的一个对称中心是
。
以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）。
13、现有3人从装有编号为1，2，3，4，5的五个小球的暗箱中每人摸出一只球（摸后不放回）,则有两人所摸的小球编号是连号,且三人编号不连号的摸法种数为 。
14、实数x，y满足不等式组
，则
的最大值是 。
15、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面，则正四面体上的所有
点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 。
三、解答题：本大题共7小题，满分75分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤。
16、已知锐角△ABC三个内角为A、B、C，向量
与
向量
是共线向量。
（1）求角A；（2）求函数
的最大值。
17、如图，在组合体中，
是一个长方体，
是一个四棱锥。
，
，点
平面
且
。
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求
与平面
所成的角的正切值；
（3）若
，当为何值时，PC∥平面
。
18、已知函数
的图象经过坐标原点，且
，数列
的前n项和
为
。
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，求数列的前n项和；
（3）若正数数列
满足
，求数列
中的最大值。
19、已知点
，点P在
轴上，点Q在
轴的正半轴上，点M在直线PQ上，
且满足
，
。
（1）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点
作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的
对称点，求证：
；
（3）在（2）中，是否存在垂直于轴的直线
被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？
若存在求出的方程；若不存在，请说明理由。
20、已知函数
和点
，过点
作曲线
的两条切线
、
，
切点分别为、
。
（1）设
，试求函数
的表达式；
（2）是否存在
，使得、与
三点共线。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（3）在（1）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内总存在
个实数
，使得不等式
成立，求
的最大值。
请考生在第21、22、23题中任选两题做答，如果多做，则按所做的前两题记分。
21、选修4－2：【矩阵与变换】
在平面直角坐标系
中，设椭圆
在矩阵
对应的变换作用下得到曲线F，
求F的方程。
22、选修4－4：【坐标系与参数方程】
已知直线L经过点
,倾斜角
，
（1）写出直线L的参数方程
（2）设L与圆
相交于两点A，B，求点到A，B两点的距离之积。
23、选修4－5：【不等式选讲】
若实数
满足
（a为常数），求
的最小值。
09届高三年第一学期第三次月考数学答案（理科）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
D
B
C
D
B
D
二、填空题：（每题5分，共25分）
11、
； 12、
； 13、
；14、
；15、
；
三、解答题：（共75分）
16、（满分12分）
已知锐角△ABC三个内角为A、B、C，向量
与向量是共线向量。
（1）求角A； （2）求函数的最大值。
解：（１）∵
共线，
∴
…（2分）∴
…………………………………………………（4分）
而
为锐角，所以
……………………（6分）（２）
…………………（9分）
∵
∴
时，
………………………（12分）
【接19题】
∵错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。,
,
∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。
…………………………12分
∴
,
令
，得
此时，
。
∴当
，即
时，
（定值）.
∴当时，满足条件的直线存在，其方程为
；
当
时，满足条件的直线不存在…………… （12分）
【以上接19题】
17、（满分12分）
如图，在组合体中，是一个长方体， 是一个四棱锥。，，点平面且。
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）若，当为何值时，PC∥平面。
解：（1）如图建立空间直角坐标系，设棱长，
则有
，
，
，
…………（2分）
于是
，
，
，所以
，
。………………（3分）
∴
垂直于平面
内的两条
相交直线
和
，由线面垂直
的判定定理，可得
PD⊥平面PBC。……（4分）
（2）
，所以
，
而平面的一个法向量为
………… （5分）
∴
…………………… （6分）
∴与平面所成的角的正弦值为
。…… （7分）
∴与平面所成的角的正切值为
。…… （8分）
（3）
，所以
，
。
设平面
的法向量为
，
则有
，令
，可得平面的一个
法向量为
………………………………… （10分）
若要使得PC∥平面，则要
，
即
，解得
。…………………… （11分）
所以当时，PC∥平面。…………………… （12分）
18、（满分12分）
已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前n项和为。
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前n项和；
（3）若正数数列满足，
求数列中的最大值
解：（1）由
得
∵ 
的图像过原点，∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。,∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。
∴
……………………………………………（1分）
∴
又
∴数列
的通项公式
（
）………（3分）
（2）由
得：
…………………………………（5分）
∴
…………①
∴
…………②……（6分）
②－①得：
∴ 
………………（7分）
（3）由
知：
令
，则
………（9分）
∴在区间
上，
，在
上，
，
∴在区间上，
为单调递减区间。………（10分）
∴
时，
是递减数列。
又
，
，∵
，∴
∴数列中的最大项为
……… ……（12分）
19、（满分12分）
已知点，点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，。
（1）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，
E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：；
（3）在（2）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，
请说明理由。
解：（1）设
,
∵
，
∴
且
， ……… （2分）
∴
。…………… （3分）
∴
……………………………………… （4分）
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点
的抛物线（除去原点）。…………………………… （5分）
（2）依题意，设直线的方程为
，
，则A，B两点的坐标满足方程组：
消去并整理，得
，
∴
。 ………………………… （7分）
设直线AE和BE的斜率分别为
，则：
。…………………………… （9分）
∴
，∴
,
∵
，
，∴
… （9分）
（3）假设存在满足条件的直线，其方程为
，AD的中点为
， 与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则
，点的坐标为
， ****注意*** 【接16题】
20、（满分13分）
已知函数和点，过点作曲线
的两条切线、，切点分别为、。
（1）设，试求函数的表达式；
（2）是否存在，使得、与三点共线。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（3）在（1）的条件下，若对任意的正整数，在区间
内总存在个实数，使得不等式
成立，求的最大值。
解：（1）设、两点的横坐标分别为
、
，
错误！不能通过编辑域代码创建对象。，
∴切线的方程为：
，
又∵切线过点
，∴有
，
即
，①…………… （2分）
同理，由切线也过点，得
，②
由①②，可得
是方程
的两根，
∴
（*）……………………… （4分）
把（ * ）式代入,得
,
因此，函数的表达式为
… （5分）（2）当点、与共线时，
，
∴
＝
，即
＝
，
化简，得
，
∵
，∴
③………………………… （6分）
把（*）式代入③，解得
。
∴存在，使得点、与三点共线，且 。……（8分）
解法
：易知
在区间
上为增函数，
∴
，
，
则
。依题意，
不等式
对一切的正整数恒成立。… （10分）
，
即
对一切的正整数恒成立。
∵
，∴
，
．由于为正整数，∴
…………… （12分）
又当
时，存在
，
，
对所有的满足条件．因此，的最大值为
。……… （13分）
21、（满分14分）
解：设
是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的
变换下变为点
则有：
，即
，所以
又因为点在椭圆上，故
，从而
所以，曲线
的方程是
。
解：（1）直线的参数方程为
，即
（2）把直线
代入
，
得
。
∵
，则点到
两点的距离之积为
。
解：∵
即
，∴
。