2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（老课程）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
参考公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示
斜高或母线长
台体的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题
（1）设集合，， 则集合中元素的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
试题详情
（2）函数的最小正周期是
（A） （B） （C） （D）
（3）记函数的反函数为，则
（A） 2 （B） （C） 3 （D）
（4）等比数列中， ，则的前4项和为
（A） 81 （B） 120 （C）168 （D） 192
（5）圆在点处的切线方程是
（A） （B）
（C） （D）
（6）展开式中的常数项为
（A） 15 （B） （C） 20 （D）
（7） 设复数的幅角的主值为，虚部为，则
（8） 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率
（A） 5 （B） （C） （D）
（9）不等式的解集为
（10）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为
（11）在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 （A） （B） （C） （D）
（12）4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有
（A） 12 种 （B） 24 种 （C）36 种 （D） 48 种
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.
（13）函数的定义域是 .
（14）用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .
（15）函数的最大值为 .
（16） 设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为
.
（17）（本小题满分12分）
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
解方程
（18）（本小题满分12分）
已知α为锐角，且的值.
（19）（本上题满分12分）
设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且
，求数列的通项公式.
（20）（本小题满分12分）
某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
（21）（本小题满分12分）
三棱锥P―ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.
(1) 求证AB⊥BC；
(2) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.
（22）（本小题满分14分）
设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在点P，使得直线PF2与直线PF2垂直.
（1）求实数m的取值范围；
（2）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q. 若，求直线PF2的方程.
一 选择题
（1）B （2）C （3）B （4）B （5）D （6）A
（7）A （8）C （9）D （10）C （11）B （12）C
二 填空题
（13） （14） （15） （16）1
三、解答题
（17）本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识. 满分12分.
解：
（无解）. 所以
（18）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力. 满分12分.
解：原式
因为
所以 原式.
因为为锐角，由.
所以 原式
因为为锐角，由
（19）本小题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式等基础知识，根据已知条件列方程以及运算能力.满分12分.
解：设等差数列的公差为d，由及已知条件得
， ①
②
由②得，代入①有
解得 当舍去.
因此
故数列的通项公式
（20）本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力. 满分12分.
解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则
蔬菜的种植面积
所以
当
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
（21）本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想象能力. 满分12分.
E
因为PA=PC，所以PD⊥AC，
又已知面PAC⊥面ABC，
D
因为PA=PB=PC，
所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC外接圆直径，
因此AB⊥BC.
（2）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.
又面PAC⊥面ABC，
所以BD⊥平面PAC，D为垂足.
作BE⊥PC于E，连结DE，
因为DE为BE在平面PAC内的射影，
所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.
在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.
在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，
因此，在Rt△BDE中，，
，
所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.
（22）本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力. 满分14分.
解：（1）由题设有
设点P的坐标为（），由，得，
化简得 ①
将①与联立，解得
由
所以m的取值范围是.
（2）准线L的方程为设点Q的坐标为，则
将代入②，化简得
由题设，得 ，无解.
由题设，得
解得m=2.
从而得到PF2的方程
，
， 则集合
中元素的个数为
的最小正周期是
（B）
（C）
（D）
的反函数为
，则
（C） 3
（D） 
中，
，则
在点
处的切线方程是
（B）
（D）
展开式中的常数项为
（C）
20 （D）
的幅角的主值为
，虚部为
，则
（B）
（D）
轴上，两条渐近线为
，则双曲线的离心率
（C） 
（D）
的解集为
（B） 
（D）
（B）
（C）
（D）
，AC=4，则边AC上的高为 （A）
（B）
（C）
（D）
的定义域是
.
，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为
.
的最大值为
.
上的动点，则点P到直线
的距离的最小值为
的值.
是公差不为零的等差数列，Sn是数列
，求数列
，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.
的两个焦点是
与
，且椭圆上存在点P，使得直线PF2与直线PF2垂直.
，求直线PF2的方程.
（14）
（15）
（16）1
（无解）. 所以
.
为锐角，由
.
的公差为d，由
及已知条件得
， ①
②
，代入①有
当
舍去. 
（21）本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想象能力. 满分12分.
，所以BD=
.
，
，
，
），由
，得
，
①
联立，解得 
.
设点Q的坐标为
，则
②
代入②，化简得
，得 
，无解.
代入②，化简得
得到PF2的方程