2009年天津市河东区高三年级能力测试题
数学理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共50分）
注意事项：
1.
答第Ⅰ卷前，考生务必用
2. 第Ⅰ卷共2页。答题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。在试卷上作答无效。
参考公式：
球的体积公式：
，其中
是球的半径.
椎体的体积公式：
，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简复数
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 已知集合
，则有
A. 
B. 
C.
D. 
3. 已知命题P:任意
，则
是
A. 任意
B. 存在
C. 存在
D. 存在、
4. 如图所示给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 设函数
，若
，则关于
的方程
的解的个数为
A. 4 B
6. 函数
的最小值是
A. 
B.
C.
D.
7. 设
，则
的大小关系是
A. 
B. 
C. 
D.
8. 在
中，
两点分别在
上。使
。将沿
折成直二面角，则二面角
的余弦值为
A. 
B. 
C. 
D.
9. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
A. 63 B
10. 曲线
（
为参数）上各点到直线
的最大距离是
A. 
B. 
C. 
D. 
第Ⅱ卷（共100分）
注意事项：
第Ⅱ卷共2页。考生必须使用
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共24分。
11. 电动自行车的耗电量
与速度这间的关系为
，为使耗电量最小，则其速度应定为
12. 极坐标系下，曲线
与曲线
的公共点个数是
13. 在正三棱柱
，若
，则
到平面
的距离
14. 如图，已知
是半圆
的直径，是
延长线上一点，
切半圆于点
,
于
，若
，则
;
15. 设函数
是定义在
上的奇函数
，若当
时，
,则满足
的的取值范围是
16. 已知点
的坐标满足条件
点为
，那么
的取值范围为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
设向量
，函数
（1）
求函数的最小正周期；
（2）
当
时，求函数的值域；
（3）
求使不等式
成立的的取值范围。
18. （本小题满分12分）
某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光。
（1） 求甲景点恰有2个A班同学的概率；
（2）
求甲景点A班同学数
的分布列及数学期望。
19. （本小题满分12分）
设函数
（1）
求的最小值
；
（2）
若
对
时恒成立，求实数
的取值范围。
20. （本小题满分12分）
在四棱锥
中，底面
是一直角梯形，
,
底面，
与底面成
角。
（1）若
，
为垂足，求证：
；
（2）求异面直线
与
所成的角的余弦值；
（3）求A点到平面
的距离。
21. （本小题满分14分）
在等比数列
中，前
项和为
，若
成等差数列，则
成等差数列。
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断逆命题是否为真？并给出证明。
22. （本小题满分14分）
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点
，平行于
的直线
在轴上的截距为
，交椭圆于
两个不同点
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）求证直线
与轴始终围成一个等腰三角形。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，
1―5BADAD 6―10CBCAA
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共24分。
17.
解：（1）
所以
（2）当
时，
所以
，即
。
（3）
即
所以
所以
所以
18. 解：（1）甲、乙两景点各有一个同学交换景点后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况
① 互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为
.
② ②互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为
..
所以甲景点恰有2个A班的同学的概率
.
(2) 甲景点内A班的同学数为
，
则
，
，
所以
。
19. 解：（1）
时，
取得最小值
，
即
（2）令
由
，得
或
（舍去）
（0,1）
1
（1,2）
0
增
极大值
减
在
内有最大值，
对
时恒成立等价于
恒成立。
即
20. (1)证明：以A为原点，AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）
则
又
所以
面
面，
（2）解：
面
，
与底面成
角, 
过E作
，垂足为F，则
,
,于是
又
则
与
所成角的余弦值为
。
（3）设
平面
，则
即
令
则
A点到平面PCD的距离设为
,则
即A点到平面PCD的距离设为
。
21.
解：（1）在等比数列
中，前
项和为
，若
成等差数列，则
成等差数列。
（2）数列的首项为
，公比为
。由题意知：
即
当
时，有
显然：
。此时逆命题为假。
当
时，有
，
，此时逆命题为真。
22.
解：（1）设椭圆方程为
则
解得
所以椭圆方程
（2）因为直线
平行于OM，且在
轴上的截距为
又
，所以的方程为：
由
因为直线与椭圆交于
两个不同点，
所以的取值范围是
。
（3）设直线
的斜率分别为
，只要证明
即可
设
，则
由
可得
而
故直线MA、MB与
轴始终围成一个等腰三角形。